Dubbio definizione di categoria derivata

[alfiere15]

Buonasera a tutti! Leggendo i miei appunti e confrontando diversi libri di testo, mi è serto un dubbio circa la definizione di categoria derivata.

La categoria derivata di una categoria $\mathcal{A}$ è ottenuta a partire dalla categoria omotopa dei complessi $\mathbf{K}(\mathcal{A})$, localizzando per quasi-isomorfismi. Il mio dubbio è proprio relativo ai complessi. Su alcuni libri ho trovato l'uso di complessi di catene (e quindi, poi, dell'omologia), su altri l'uso di complessi di cocatene (e quindi, poi, di coomologia).

Mi chiedo se ci siano differenze oppure no.

Io propenderei nel dire di no, essendo i complessi di cocatene dei complessi di catene nella categoria duale. Quindi si tratterebbe soltanto di "dualizzare", di invertire tutte le frecce e i gradi. Giusto?

[solaàl]

Sì, per passare dai complessi di catene ai complessi di cocatene hai solo girato la graduazione; in termini formali non ci sono grandi differenze. Va da sé però che "l'omologia" non è esattamente il duale de "la coomologia" (nel senso che al massimo della generalità, l'omologia e la coomologia non sono duali, ma legate da una successione spettrale).

Va anche da sé che non è vero che complessi di catene e di cocatene si corrispondono: https://math.stackexchange.com/question ... in-complex e https://math.stackexchange.com/question ... in-complex

[alfiere15]

Quindi, se ho capito bene, fermo restando che omologia e coomologia non sono l'uno il duale dell'altro e che non sempre catene e cocatene si corrispondono, posso comunque, a livello di definizione di $D(\mathcal{A})$, considerare indifferentemente complessi di catene o di cocatene, cambiando naturalmente la definizione di quasi-isomorfismo (ossia, se si hanno isomorfismi in omologia o in coomologia). Tutto ciò che viene provato poi nel caso di catene, vale anche per le cocatene. Corretto?

[solaàl]

Puoi divertirti a dimostrare che esiste una categoria \(\mathcal C\) con la proprietà che i complessi di catene a valori in una categoria abeliana \(\mathcal A\) sono equivalenti alla categoria dei funtori \(\mathcal C\to\mathcal A\); per contro, un complesso di cocatene è un funtore \(\mathcal C^\text{op} \to \mathcal A\). Allora, che differenza corre tra le categorie \([\mathcal C,\mathcal A]\) e \([\mathcal C^\text{op},\mathcal A]\) (questa domanda si legge: "qual è la differenza tra un fascio e un cofascio?")? Per certi versi sono molto diverse, ma la teoria "formale" degli oggetti che vi stanno dentro è sempre la stessa.