Calcolare forme differenziabili
Perdonatemi se insisto con queste domande sulle forme ma pensavo di averle capite abbastanza, invece sto avendo non poche difficoltà, anche solo nel calcolo.
Come calcolo $alpha_p(v,w)$ se $alpha=xdy^^dz+ydx^^dz+zdx^^dy$ , $p=(1,1,1)$ $v=(2,0-2)$ $w=(1,3,0)$?
Come calcolo $alpha_p(v,w)$ se $alpha=xdy^^dz+ydx^^dz+zdx^^dy$ , $p=(1,1,1)$ $v=(2,0-2)$ $w=(1,3,0)$?
Risposte
"Lorz":
Perdonatemi se insisto con queste domande sulle forme ma pensavo di averle capite abbastanza, invece sto avendo non poche difficoltà, anche solo nel calcolo.
Come calcolo $alpha_p(v,w)$ se $alpha=xdy^^dz+ydx^^dz+zdx^^dy$ , $p=(1,1,1)$ $v=(2,0-2)$ $w=(1,3,0)$?
$alpha_p=dy^^dz+dx^^dz+dx^^dy$, e nell'isomorfismo \(\bigwedge^2 (\mathbb R^3)\cong \mathbb R^3\) corrisponde alla matrice antisimmetrica
\[A=\frac12
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & 1 \\
-1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
\] allora \(\alpha_p(v,w)=v^tAw=7\) (o -7, insomma, ci siamo capiti; se A è antisimmetrica il segno cambia scambiando v e w di posto).
Perfetto solaal chiarissimo come sempre, ho solo 2 domande per te:
1) L'isomorfismo che hai scritto (chiaro, hanno la stessa dimensione) vale in generale dicendo $Lambda^k(M^{k+1}) ~= M^{k+1}$ essendo che $ ( ( k+1 ),( k ) ) =k+1$ ?
2)Che conti hai fatto per scrivere A in quel modo? Più che altro è chiaro il fatto che posso identificare $alpha_p$ con una matrice antisimmetrica, ma da dove compare quell' 1/2?
1) L'isomorfismo che hai scritto (chiaro, hanno la stessa dimensione) vale in generale dicendo $Lambda^k(M^{k+1}) ~= M^{k+1}$ essendo che $ ( ( k+1 ),( k ) ) =k+1$ ?
2)Che conti hai fatto per scrivere A in quel modo? Più che altro è chiaro il fatto che posso identificare $alpha_p$ con una matrice antisimmetrica, ma da dove compare quell' 1/2?
2) Ogni matrice antisimmetrica in dimensione 3 risulta dal prodotto vettoriale per un certo $v$ fissato: questo perché lo spazio delle matrici antisimmetriche 3x3 ha dimensione 3, e data una $A$ antisimmetrica, $Av = w_A\land v$ per un unico $w_A$ le cui coordinate sono... esattamente i 3 ingressi di $A$ sopra la diagonale (che è fatta di zeri), i quali determinano univocamente $A$.
L'1/2 è solo un coefficiente che normalizza le entrate di $A$.
1) Più in generale, vale la dualità di Poincaré: \(\bigwedge^k K^d\cong \bigwedge^{d-k}K^d\). Quell'isomorfismo ne è un caso particolare.
L'1/2 è solo un coefficiente che normalizza le entrate di $A$.
1) Più in generale, vale la dualità di Poincaré: \(\bigwedge^k K^d\cong \bigwedge^{d-k}K^d\). Quell'isomorfismo ne è un caso particolare.
@solaál
Non hai scordato i $-$ nella matrice?
Non hai scordato i $-$ nella matrice?
"Bokonon":
@solaál
Non hai scordato i $-$ nella matrice?
Uff, sì. E allora anche quanto fa è sbagliato. Correggo.
Ahhhhhhh!! Capito tutto, in poche parole $alpha_p(v,w)=$ dove le $f_i$ sono le funzioni che definiscono la forma
Sì, \(\alpha_p(v,w)=v\cdot (u_{\alpha_p} \land w)\), dove \(u_{\alpha_p}\) è l'unico vettore etc etc.
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