\( M\otimes F\cong\bigoplus_{i\in I}M \)
Siano \( M \) ed \( F \) rispettivamente un \( R \)-modulo (con \( R \) anello commutativo), e un \( R \)-modulo libero di base \( \{e_i\}_{i\in I} \), dove \( I \) è un insieme di indici.
È sempre vero che posso indiciare \( M \) usando \( I \)? Sono abbastanza sicuro che la risposta sia "no", però qui alla 4.15 questo fatto è (mi sembra) usato dall'autore per definire un isomorfismo tra \( M\otimes_R N \) e la somma di \( \lvert I\rvert \) copie di \( M \). Non è così, ed è invece un abuso di linguaggio?
È sempre vero che posso indiciare \( M \) usando \( I \)? Sono abbastanza sicuro che la risposta sia "no", però qui alla 4.15 questo fatto è (mi sembra) usato dall'autore per definire un isomorfismo tra \( M\otimes_R N \) e la somma di \( \lvert I\rvert \) copie di \( M \). Non è così, ed è invece un abuso di linguaggio?
Risposte
Sì, è sempre vero che \(M\otimes F\cong \bigoplus_i M\) se \(F\cong \bigoplus_i R\), come puoi dimostrare facendo vedere ciascuno di questi passi intermedi:
\[
M\otimes F\cong M\otimes \bigoplus_{i\in I} R\cong \bigoplus_{i\in I} M\otimes R\cong \bigoplus_{i\in I} M
\] (l'ultimo passo, perché \(M\otimes R\cong M\))
\[
M\otimes F\cong M\otimes \bigoplus_{i\in I} R\cong \bigoplus_{i\in I} M\otimes R\cong \bigoplus_{i\in I} M
\] (l'ultimo passo, perché \(M\otimes R\cong M\))
Quello che cercavo di capire è che cosa intenda l’autore di quei fogli quando scrive che un tensore di \( M\otimes F \) si può scrivere come somma di tensori elementari della forma \( m_i\otimes e_i \), al variare di \( i\in I \), per qualche \( m_i\in M \). E lo dice prima di dimostrare quello che c’è nel titolo (che è un po’ fuorviante, sì).
C'è solo un caso in cui non si può usare un teorema in una dimostrazione: quando è falso.
Quello che Keith scrive (salutamelo se lo vedi!) è semplicemente la versione in coordinate dell'isomorfismo che ho scritto io; questo isomorfismo si determina così: prendi un tensore in \(M\otimes F\), questo in generale si scriverà come una combinazione lineare \(\sum_{t=1}^n m_t \otimes f_t\) dove gli $m_t$ stanno in $M$ e gli $f_t$ in $F$; questo è vero perché i tensori elementari sono dei generatori di \(M\otimes F\); in generale sono solo generatori, non sono indipendenti (infatti ad esempio \(\mathbb Z/3\otimes \mathbb Z/7\) fa zero...); del resto $F$ è libero, e siccome ogni $f_t$ si scrive come \(\sum_j a_{jt} e_j\), e siccome \(\otimes\) è bilineare, quello che alla fine ottieni è che
\[
\sum_{t=1}^n m_t \otimes f_t = \sum_{t=1}^n m_t \otimes \sum_j a_{jt} e_j =
\sum_{t=1}^n\sum_j m_t \otimes a_{jt} e_j
\] e riordinando i termini, questo somiglia già molto di più a 4.15. Finisci tu.
Quello che Keith scrive (salutamelo se lo vedi!) è semplicemente la versione in coordinate dell'isomorfismo che ho scritto io; questo isomorfismo si determina così: prendi un tensore in \(M\otimes F\), questo in generale si scriverà come una combinazione lineare \(\sum_{t=1}^n m_t \otimes f_t\) dove gli $m_t$ stanno in $M$ e gli $f_t$ in $F$; questo è vero perché i tensori elementari sono dei generatori di \(M\otimes F\); in generale sono solo generatori, non sono indipendenti (infatti ad esempio \(\mathbb Z/3\otimes \mathbb Z/7\) fa zero...); del resto $F$ è libero, e siccome ogni $f_t$ si scrive come \(\sum_j a_{jt} e_j\), e siccome \(\otimes\) è bilineare, quello che alla fine ottieni è che
\[
\sum_{t=1}^n m_t \otimes f_t = \sum_{t=1}^n m_t \otimes \sum_j a_{jt} e_j =
\sum_{t=1}^n\sum_j m_t \otimes a_{jt} e_j
\] e riordinando i termini, questo somiglia già molto di più a 4.15. Finisci tu.
Fai \( M = \mathbb Z[X] \) e \( F = \mathbb Z \), come \( \mathbb Z \) moduli. È \( M\otimes_{\mathbb Z} F\cong\bigoplus_{n\in\mathbb N} F \), ma una base di \( M \) è \( \{X^n\}_{n\in\mathbb N} \), e una base di \( F \) è "\( \{e_i\}_{i\in I} \)", dove \( I = \{1\in\mathbb N\} \) e \( e_1 = 1_{\mathbb Z} \). Ora indicizza gli \( A\in \mathbb Z[X] \) usando \( I \).
Ciò detto, posso scrivere un \( t\in M\otimes_R F \) come \( t = \sum_{(m,f)\in M\times F} t_{(m,f)} m\otimes f \) per una famiglia di \( t_{(m,f)} \)dell'anello quasi tutti nulli, e quindi come \( \sum_{(m,f)\in M\times F} t_{(m,f)} m\otimes\sum_{i\in I}f_ie_i \), se ogni \( f\in F \) si scrive come \( \sum_{i\in I}f_ie_i \) per degli \( f_i \) quasi tutti zero.
Allora definisco un omomorfismo \( \phi\colon \bigoplus_{i\in I}M\to M\otimes_R F \) (cambio la notazione; nelle dispense del bff \( \phi \) è \( f \)) mappando la tupla \( \left(m_i\right)_{i\in I} \) nel tensore \( \sum_{i\in I} m_i\otimes e_i \), e do una funzione \( M\times F\to\bigoplus_{i\in I} M \) mappando \( \left(m,\sum_{i\in I}f_ie_i\right) \) in \( \left(f_im\right)_{i\in I} \), di modo che risulti indotto un l'omomorfismo \( \psi\colon M\otimes_R F\to\bigoplus_{i\in I}M \) con una proprietà desiderata.
Preso un tensore elementare \( m\otimes\sum_{i\in I}f_ie_i \) di \( M\otimes_R F \), ho
\[
\phi\Bigl(\psi\Bigl(m\otimes\sum_{i\in I}f_ie_i\Bigr)\Bigr) = \phi(\left(f_im\right)_{i\in I}) = \sum_{i\in I}(f_im)\otimes e_i = \sum_{i\in I} m\otimes(f_ie_i) = m\otimes\sum_{i\in I}f_ie_i
\] E, presa \( \left(m_i\right)_{i\in I}\in\bigoplus_{i\in I}M \), ho
\[
\begin{multline*}
\psi\Bigl(\phi\Bigl(\left(m_i\right)_{i\in I}\Bigr)\Bigr) = \psi\Bigl(\sum_{i\in I} m_i\otimes e_i\Bigr) = \sum_{i\in I}\psi(m_i\otimes e_i) = \sum_{i\in I}\psi\Bigl(m_i\otimes\sum_{j\in I}\delta_{ij}e_i\Bigr)\\ = \sum_{i\in I} \left(\delta_{ij}m_j\right)_{j\in I} = \left(m_i\right)_{i\in I}
\end{multline*}
\] e siccome le due funzioni sono inverse su generatori, sono inverse dappertutto.
Ciò detto, posso scrivere un \( t\in M\otimes_R F \) come \( t = \sum_{(m,f)\in M\times F} t_{(m,f)} m\otimes f \) per una famiglia di \( t_{(m,f)} \)dell'anello quasi tutti nulli, e quindi come \( \sum_{(m,f)\in M\times F} t_{(m,f)} m\otimes\sum_{i\in I}f_ie_i \), se ogni \( f\in F \) si scrive come \( \sum_{i\in I}f_ie_i \) per degli \( f_i \) quasi tutti zero.
Allora definisco un omomorfismo \( \phi\colon \bigoplus_{i\in I}M\to M\otimes_R F \) (cambio la notazione; nelle dispense del bff \( \phi \) è \( f \)) mappando la tupla \( \left(m_i\right)_{i\in I} \) nel tensore \( \sum_{i\in I} m_i\otimes e_i \), e do una funzione \( M\times F\to\bigoplus_{i\in I} M \) mappando \( \left(m,\sum_{i\in I}f_ie_i\right) \) in \( \left(f_im\right)_{i\in I} \), di modo che risulti indotto un l'omomorfismo \( \psi\colon M\otimes_R F\to\bigoplus_{i\in I}M \) con una proprietà desiderata.
Preso un tensore elementare \( m\otimes\sum_{i\in I}f_ie_i \) di \( M\otimes_R F \), ho
\[
\phi\Bigl(\psi\Bigl(m\otimes\sum_{i\in I}f_ie_i\Bigr)\Bigr) = \phi(\left(f_im\right)_{i\in I}) = \sum_{i\in I}(f_im)\otimes e_i = \sum_{i\in I} m\otimes(f_ie_i) = m\otimes\sum_{i\in I}f_ie_i
\] E, presa \( \left(m_i\right)_{i\in I}\in\bigoplus_{i\in I}M \), ho
\[
\begin{multline*}
\psi\Bigl(\phi\Bigl(\left(m_i\right)_{i\in I}\Bigr)\Bigr) = \psi\Bigl(\sum_{i\in I} m_i\otimes e_i\Bigr) = \sum_{i\in I}\psi(m_i\otimes e_i) = \sum_{i\in I}\psi\Bigl(m_i\otimes\sum_{j\in I}\delta_{ij}e_i\Bigr)\\ = \sum_{i\in I} \left(\delta_{ij}m_j\right)_{j\in I} = \left(m_i\right)_{i\in I}
\end{multline*}
\] e siccome le due funzioni sono inverse su generatori, sono inverse dappertutto.
Ho trovato l'errore.
"marco2132k":Non si dice di indicizzare \( M \) usando \( I \) (mi sono impuntato io su quel fatto); quello che si dice è che i tensori elementari di \( M\otimes_R F \) possono essere indicizzati con \( I \), e questo è ovvio.
Fai \( M = \mathbb Z[X] \) e \( F = \mathbb Z \), come \( \mathbb Z \) moduli. È \( M\otimes_{\mathbb Z} F\cong\bigoplus_{n\in\mathbb N} F \), ma una base di \( M \) è \( \{X^n\}_{n\in\mathbb N} \), e una base di \( F \) è "\( \{e_i\}_{i\in I} \)", dove \( I = \{1\in\mathbb N\} \) e \( e_1 = 1_{\mathbb Z} \). Ora indicizza gli \( A\in \mathbb Z[X] \) usando \( I \).
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