Prodotti scalari con polinomi

[Giulio98261]

Salve, avrei bisogno di aiuto nella risoluzione di un quiz a risposta multipla. O meglio, so quali sono le risposte giuste, ma spero che qualcuno di voi riesca a darmi una spiegazione per ogni risposta.

Il quesito è il seguente:

Considerate in R2[x] il prodotto scalare definito dalla seguente formula:
$ =int_(-1)^(1) P(x)Q(x) dx $
dove P e Q sono due vettori generici di R2[x]. Quali delle seguenti affermazioni sono corrette?

(a) La base canonica è una base ortonormale rispetto a tale prodotto scalare.
(b) Se W = span{x} allora W⊥ = span{1, $ x^2 $}.
(c) Rispetto alla base $ {1 + sqrt(3) x, 1 −sqrt(3)x, x^2} $ la matrice associata a tale prodotto scalare è
$ ( ( 4 , 0 , 2/3 ),( 0 , 4 , 2/3 ),( 2/3 , 2/3 , 2/5 ) ) $
(d) Questo prodotto scalare è definito negativo.

Vi anticipo che le risposte giuste sono la b e la c

[j18eos]

CIa0 caro,

la b è vera!, la d è palesemente falsa!

Sai il perché?

[Giulio98261]

"j18eos":CIa0 caro,

la b è vera!, la d è palesemente falsa!

Sai il perché?

Beh no, è proprio questo il punto. So che la b e la c sono vere, ma non so il perché.

[j18eos]

Non c'hai manco provato?

[Giulio98261]

"j18eos":Non c'hai manco provato?

Se è questo tutto ciò che hai da dire meglio non dire nulla....

Per chi ha realmente intenzione di aiutarmi:
sono riuscito a capire i primi 3 punti del quesito. Ciò che non riesco invece a capire come fare è la verifica del fatto che il prodotto scalare sia definito negativo o positivo.
Io farei nel seguente modo, ma non so se è quello giusto:
Trovo la matrice associata al prodotto scalare rispetto alla base canonica e vedo quali sono i suoi autovalori.
Però non sono sicuro sia giusto o meno questo procedimento

[solaàl]

Quanto fa l'integrale \(\int_{-1}^1 |p(x)|^2 dx\)?

[j18eos]

@giulio9826 ...e io ti ricordo che questo non è un Q&A forum, ovvero (come recita il regolamento, il quale citerò a seguire) "chi pone la domanda deve dimostrare lo sforzo che ha fatto per cercare di risolvere la difficoltà, indicare la strada che ha cercato di intraprendere e in ogni caso indicare aspetti specifici da chiarire." (1.2)

[Bokonon]

@Giulio9826
Leggi il regolamento del forum, poi rileggi il thread e infine rifletti se devi scusarti.

L'idea che proponi per il punto 4 è corretta ma assai laboriosa. Inoltre potresti prendere la base e quindi la matrice al punto 3 (non cambia nulla).
Potresti usare Sylvester (meno laborioso) ma c'è un modo più semplice.

Se fai il prodotto scalare di polinomio generico con se stesso, dovrai integrare $(ax^2+bx+c)^2$
Visto che l'integrale è un operatore lineare, potrai integrarne i singoli monomi.

Tolto il polinomio nullo, avrai che tutti le componenti quadratiche saranno funzioni (di che tipo?) e sempre (cosa?) nell'intervallo di integrazione. Quindi gli integrali saranno sempre (cosa?) indipendentemente dai segni di a,b,e c.

I prodotti misti invece saranno sempre funzioni (di che tipo?) e quindi gli integrali saranno sempre (cosa?).

Da queste due osservazioni deduci che $$ è sempre (cosa?).

[Giulio98261]

"Bokonon":@Giulio9826
Se fai il prodotto scalare di polinomio generico con se stesso, dovrai integrare $(ax^2+bx+c)^2$
Visto che l'integrale è un operatore lineare, potrai integrarne i singoli monomi.

Tolto il polinomio nullo, avrai che tutti le componenti quadratiche saranno funzioni (di che tipo?) e sempre (cosa?) nell'intervallo di integrazione. Quindi gli integrali saranno sempre (cosa?) indipendentemente dai segni di a,b,e c.

I prodotti misti invece saranno sempre funzioni (di che tipo?) e quindi gli integrali saranno sempre (cosa?).

Da queste due osservazioni deduci che $$ è sempre (cosa?).

Dunque, risolvendo l'integrale ottengo:
$ 2/5a^2 +2/3b^2+2c^2+4/3ac $
però non riesco a capire come questo possa aiutarmi, ovvero, c'è il termine $ 4/3ac $ che non è detto sia positivo. O sbaglio?

[Bokonon]

Opla. Non me n'ero accorto. Questo rovina tutto.
Comunque anche così, prendendo il caso critico $(ax^2-c)^2$ è facile dimostrare che la parabola $3a^2-10ac+15c^2$ è sempre positiva.

Molto più semplice come ha osservato @solaál e dove Armando voleva portarti.
Ovvero una funzione al quadrato (in generale) è sempre$>=0$, quindi l'area in un intervallo chiuso è sempre positiva.

P.S. Niente scuse?

[Giulio98261]

"Bokonon":Opla. Non me n'ero accorto. Questo rovina tutto.
Comunque anche così, prendendo il caso critico $ (ax^2-c)^2 $ è facile dimostrare che la parabola $ 3a^2-10ac+15c^2 $ è sempre positiva.

Molto più semplice come ha osservato @solaál e dove Armando voleva portarti.
Ovvero una funzione al quadrato (in generale) è sempre$ >=0 $, quindi l'area in un intervallo chiuso è sempre positiva.

Va bene, più che altro non mi aspettavo che per un singolo quiz bisognasse fare così tanti calcoli!!
Comunque Grazie mille a tutti.

"Bokonon":
P.S. Niente scuse?

Non ho scritto con l'intento di offendere nessuno, comunque sia mi scuso nel caso @j18eos si sia sentito offeso dal sottoscritto.

[j18eos]

[ot]Non è una questione di (non) scuse;

è una questione che Giulio deve imparare a ragionare, non solo per svolgere esercizi del genere, ma anche a svolgere il lavoro che ha scelto per il suo futuro!

Io non so che corso di studi sta frequentando (matematica, fisica?), ma se già sugli esami di base parte (relativamente) male, con quelli più caratterizzanti che combinerà?

Due fatti in chiusura:

1) sentirmi dire "Prof. io la denunzio per questo 4/10!" da un 16enne figlio di papà (letteralmente!) ha abbassato di parecchio la mia soglia di tollerenza;
1bis) il papà cambiava un auto ogni 3 settimane, e la sig.a dirigente scolastico si limita ad avallare le note disciplinari trascritte, senza passare ad "armi più potenti"...

2) studenti che mi danno risposte giuste agli esami (scritti od orali che siano) senza saperle giustificare, li ho sempre bocciati senza pietà;
2bis) quindi Giulio inizia a studiare sul serio, 'ché l'università non è la scuola![/ot]

[solaàl]

L'ha detto proprio così, denunzio con la z? Che voto aveva in italiano?

[j18eos]

Sono io che l'ho scritta con la "z", ed è una parola corretta secondo il dizionario Treccani (per esempio).

[solaàl]

Infatti, è corretta. Facevo notare che se l'ha detta cosi, probabilmente andava bene in italiano, al contrario di chi sbaglia la consecutio e per andare sul sicuro non si fa mancare un altro po' di sgrammaticature