Orientazione varietà prodotto

[Lorz1]

Date due varietà differenziabili $M_1$ ed $M_2$ provare che $M_1 xx M_2$ è orientabile $hArr$ $M_1$ ed $M_2$ sono orientabili.

Per $ lArr$ ho pensato: esisteranno una $n_1$-forma senza zeri, $alpha$, ed una $n_2$-forma senza zeri $beta$.
Scegliendo una sistema di coordinate di $M_1$: $(U, phi, x_i)$ ed uno di $M_2$: $(V, psi, y_i)$ queste due forme si scriveranno localmente come:
$alpha= fdx_1 ^^...^^dx_{n_1}$
$beta=g dy_1 ^^ ...^^dy_{n_2}$ con $ f in C^infty(U)$ e $ g in C^infty(M_2)$
Adesso scelgo la carta $(U xx V, phi xx psi)$ in $M_1 xx M_2$ e definisco la forma $omega=fg dx_1^^...dx_{n_1}^^dy_1^^...^^dy_{n_2}$, dove con fg intendo la funzione che opera come f sulle prime $n_1$ componenti e come g sulle altre. $fg in C^infty(M_1 xx M_2)$ ed fg non ha zeri per ipotesi dunque $omega induce un'orientazione sul prodotto, che quindi è orientabile.

Per quanto riguarda l'altra implicazione avete qualche consiglio? Non capisco bene cosa fare

[solaàl]

Siccome \(M\times N\) è orientabile, c'è una forma di volume $\eta\in\Omega^{n+m}(M\times N)$. Per ogni punto $q\in N$, scegli una base $\{w_1,...,w_n\}$ dello spazio tangente $T_qN$, e definisci $\omega\in\Omega^m(M)$ come:
\[\omega(X_1,...,X_m):=\eta_{(\cdot,q)}\left(X_1,...,X_m,w_1,...,w_n\right)\] Questa è una forma volume su $M$, perché fissato $p\in M$, su una base $\{v_1,...,v_m\}$ di $T_pM$, usando il fatto che $T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_pM\oplus T_qN$, si ha che $\{v_1,...,v_m,w_1,...,w_n\}$ è una base di $T_{(p,q)}(M\times N)$ su cui $\omega$, per come è definita, non si annulla; analogamente fai per $N$.