Fasci molto ampi
Buonasera. Stavo rivedendo alcune nozioni di teoria dei fasci su schemi.
Sia $X$ uno schema e $k(x)$ il fascio grattacielo in $x$. Un modo per verificare che un fascio invertibile $\mathcal{L}$ su $X$ sia molto ampio è controllare se:
1) separa i punti, ossia se $H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, k(x_1) \oplus k(x_2))$ è surgettiva per ogni coppia di punti distinti;
2) separa le direzioni tangenti, ossia se $H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{O}_{Z_x})$ è surgettiva se $Z_x$ è un sottoschema concentrato in $x$ di dimensione 2.
Non riesco a capire come siano fatte le due mappe, soprattutto la prima. Qualcuno mi può aiutare?
Sia $X$ uno schema e $k(x)$ il fascio grattacielo in $x$. Un modo per verificare che un fascio invertibile $\mathcal{L}$ su $X$ sia molto ampio è controllare se:
1) separa i punti, ossia se $H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, k(x_1) \oplus k(x_2))$ è surgettiva per ogni coppia di punti distinti;
2) separa le direzioni tangenti, ossia se $H^0(X, \mathcal{L}) \to H^0(X, \mathcal{O}_{Z_x})$ è surgettiva se $Z_x$ è un sottoschema concentrato in $x$ di dimensione 2.
Non riesco a capire come siano fatte le due mappe, soprattutto la prima. Qualcuno mi può aiutare?
Risposte
1) verrà da una mappa \(\mathscr L \to k(x_1)\oplus k(x_2)\), la quale corrisponde per la proprietà universale del prodotto a due mappe \(\mathscr L \to k(x_1),k(x_2)\), le quali per aggiunzione corrispondono a \(\mathscr L_{x_1}, \mathscr L_{x_2} \to k\) (che assumo sia il campo dove lo schema è definito?)...
Spiego meglio il contesto... sto approfondendo la dimostrazione del teorema di Bondal-Orlov proposta su Huybrechts e per dimostrare che $\omega_Y$ (fascio canonico sulla varietà proiettiva liscia $Y$) è ampio, verifica che una sua potenza è molto ampia usando quelle due proprietà.
L'autore inizia scrivendo la seguente freccia: $r_{y_1, y_2}: \omega_Y^k \to \omega_Y^k(y_1) \oplus \omega_Y^k(y_2) \cong k(y_1) \oplus k(y_2)$, con $y_1$ e $y_2$ distinti. Ma non riesco a capire né la definizione della freccia né l'isomorfismo che considera.
L'autore inizia scrivendo la seguente freccia: $r_{y_1, y_2}: \omega_Y^k \to \omega_Y^k(y_1) \oplus \omega_Y^k(y_2) \cong k(y_1) \oplus k(y_2)$, con $y_1$ e $y_2$ distinti. Ma non riesco a capire né la definizione della freccia né l'isomorfismo che considera.
Ho un vago ricordo sui "fasci che separano" i punti... prova a cercare su Kobayashi S. - Differential Geometry of Complex Vector Bundles. 
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