Matrice simile a potenza di matrice
Buonasera,
sto cercando di risolvere i seguenti quesiti:
sia A = $ ( ( 2 , 4 , -2 ),( 1 , 3 , -2 ),( 3 , 8 , -5 ) ) $;
1) dire se \(\displaystyle A \) è simile a \(\displaystyle A^2 \)
2) dire se \(\displaystyle A \) è simile a \(\displaystyle A^3 \)
3) \(\displaystyle A \) è uguale a \(\displaystyle A^3 \)?
[le risposte devono essere motivate, non è necessario calcolare \(\displaystyle A^2 \) e \(\displaystyle A^3 \)]
Siccome la consegna specifica di non calcolare le potenze di \(\displaystyle A \), presumo serva ragionare sulle proprietà delle matrici. Essendo poi questa domanda relativa ad un esercizio che prevede la verifica della diagonalizzabilità di \(\displaystyle A \), penso servano anche delle proprietà relative alle matrici diagonali.
Per la prima e la seconda domanda ho ragionato come segue:
essendo \(\displaystyle A=\)\(\displaystyle S \)\(\displaystyle D \)\(\displaystyle S^{-1} \), dove \(\displaystyle D \) è la matrice diagonale (ho già verificato che A è diagonalizzabile)
e \(\displaystyle A=\)\(\displaystyle P^{-1} \)\(\displaystyle B \)\(\displaystyle P \) (dalla definizione di matrice simile), se \(\displaystyle A\) è simile a \(\displaystyle A^2\) deve essere che \(\displaystyle B= \)\(\displaystyle A^2 \);
uguagliando con la prima proprietà risulterebbe che \(\displaystyle S=\)\(\displaystyle P^{-1}\), \(\displaystyle D=\)\(\displaystyle A^2 \) e \(\displaystyle S^{-1}=\)\(\displaystyle P\).
Quindi essendo per forza \(\displaystyle D\) $ != $\(\displaystyle A^2\) si può concludere che \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^2 \) non sono simili (?). E lo stesso varrebbe per \(\displaystyle A^3 \).
Ho qualche dubbio su questo ragionamento, ma non mi sono venute in mente altre idee.
Per la terza domanda non saprei come procedere senza calcolare la matrice.
Sareste così gentili da aiutarmi
?
Grazie.
sto cercando di risolvere i seguenti quesiti:
sia A = $ ( ( 2 , 4 , -2 ),( 1 , 3 , -2 ),( 3 , 8 , -5 ) ) $;
1) dire se \(\displaystyle A \) è simile a \(\displaystyle A^2 \)
2) dire se \(\displaystyle A \) è simile a \(\displaystyle A^3 \)
3) \(\displaystyle A \) è uguale a \(\displaystyle A^3 \)?
[le risposte devono essere motivate, non è necessario calcolare \(\displaystyle A^2 \) e \(\displaystyle A^3 \)]
Siccome la consegna specifica di non calcolare le potenze di \(\displaystyle A \), presumo serva ragionare sulle proprietà delle matrici. Essendo poi questa domanda relativa ad un esercizio che prevede la verifica della diagonalizzabilità di \(\displaystyle A \), penso servano anche delle proprietà relative alle matrici diagonali.
Per la prima e la seconda domanda ho ragionato come segue:
essendo \(\displaystyle A=\)\(\displaystyle S \)\(\displaystyle D \)\(\displaystyle S^{-1} \), dove \(\displaystyle D \) è la matrice diagonale (ho già verificato che A è diagonalizzabile)
e \(\displaystyle A=\)\(\displaystyle P^{-1} \)\(\displaystyle B \)\(\displaystyle P \) (dalla definizione di matrice simile), se \(\displaystyle A\) è simile a \(\displaystyle A^2\) deve essere che \(\displaystyle B= \)\(\displaystyle A^2 \);
uguagliando con la prima proprietà risulterebbe che \(\displaystyle S=\)\(\displaystyle P^{-1}\), \(\displaystyle D=\)\(\displaystyle A^2 \) e \(\displaystyle S^{-1}=\)\(\displaystyle P\).
Quindi essendo per forza \(\displaystyle D\) $ != $\(\displaystyle A^2\) si può concludere che \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^2 \) non sono simili (?). E lo stesso varrebbe per \(\displaystyle A^3 \).
Ho qualche dubbio su questo ragionamento, ma non mi sono venute in mente altre idee.
Per la terza domanda non saprei come procedere senza calcolare la matrice.
Sareste così gentili da aiutarmi
?Grazie.
Risposte
Hai iniziato bene, ma poi ti sei perso...
Guardando gli autovalori: è possibile che questi siano anche autovalori di \(A^2\) e\o di \(A^3\)?
Guardando gli autovalori: è possibile che questi siano anche autovalori di \(A^2\) e\o di \(A^3\)?
Intanto grazie per il suggerimento.
Effettivamente mi era sfuggito il teorema secondo il quale gli autovalori di \(\displaystyle A^k \) sono gli autovalori di \(\displaystyle A\) elevati alla \(\displaystyle k \). Di conseguenza se \(\displaystyle A \) ammette gli autovalori 0, 1, -1, \(\displaystyle A^2 \) deve ammettere gli autovalori 0, 1 (quest'ultimo con molteplicità algebrica = 2) e \(\displaystyle A^3 \) deve avere gli stessi autovalori di \(\displaystyle A \). Però sapendo ciò cosa potrei dire? Se due matrici hanno stesso polinomio caratteristico allora hanno gli stessi autovalori, ma non penso valga anche il viceversa. Se dimostrassi che \(\displaystyle A^2 \) o \(\displaystyle A^3 \) hanno il polinomio caratteristico diverso da \(\displaystyle A \) allora sarebbe facile concludere che esse non sono simili ad \(\displaystyle A \). Per escludere altre condizioni tipo stesso determinante (che però è uguale dato che è 0), stessa traccia,...dovrei fare un minimo di calcolo. Altrimenti mi resta da utilizzare la definizione di matrice simile ma non ci cavo nulla
...
Effettivamente mi era sfuggito il teorema secondo il quale gli autovalori di \(\displaystyle A^k \) sono gli autovalori di \(\displaystyle A\) elevati alla \(\displaystyle k \). Di conseguenza se \(\displaystyle A \) ammette gli autovalori 0, 1, -1, \(\displaystyle A^2 \) deve ammettere gli autovalori 0, 1 (quest'ultimo con molteplicità algebrica = 2) e \(\displaystyle A^3 \) deve avere gli stessi autovalori di \(\displaystyle A \). Però sapendo ciò cosa potrei dire? Se due matrici hanno stesso polinomio caratteristico allora hanno gli stessi autovalori, ma non penso valga anche il viceversa. Se dimostrassi che \(\displaystyle A^2 \) o \(\displaystyle A^3 \) hanno il polinomio caratteristico diverso da \(\displaystyle A \) allora sarebbe facile concludere che esse non sono simili ad \(\displaystyle A \). Per escludere altre condizioni tipo stesso determinante (che però è uguale dato che è 0), stessa traccia,...dovrei fare un minimo di calcolo. Altrimenti mi resta da utilizzare la definizione di matrice simile ma non ci cavo nulla
...
Beh, ti sei risposto da sol*: \(\displaystyle A\) ed \(\displaystyle A^3\) sono simili alla matrice \(\displaystyle diag(-1,0,1)\) mentre \(\displaystyle A^2\) è simile alla matrice \(\displaystyle diag(1,0,1)\).
Quindi?
Quindi?
Mi viene da pensare che, se \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^3 \) sono simili alla stessa matrice diagonale \(\displaystyle D \), allora \(\displaystyle A \) è simile ad \(\displaystyle A^3 \) e ovviamente viceversa (valendo il fatto che se \(\displaystyle A \) è simile a \(\displaystyle C \) e \(\displaystyle B \) è simile a \(\displaystyle C \), allora \(\displaystyle A \) è simile a \(\displaystyle B \)). Quindi per quanto riguarda \(\displaystyle A^2 \) posso dire che essa non è simile ad \(\displaystyle A \), poiché non sussiste la relazione precedente (?)
Invece per quanto riguarda l'uguaglianza tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^3 \)? In generale non posso dire che sono uguali perché \(\displaystyle A= SDS^{−1} \) e \(\displaystyle A^3= SDS^{−1} \), con stessa matrice \(\displaystyle D \), ma la matrice di cambiamento di base \(\displaystyle S \) potrebbe differire nelle due relazioni. Quindi c'è qualcos'altro che mi sfugge, dato che ho controllato e \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^3 \) risultano uguali.
Invece per quanto riguarda l'uguaglianza tra \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^3 \)? In generale non posso dire che sono uguali perché \(\displaystyle A= SDS^{−1} \) e \(\displaystyle A^3= SDS^{−1} \), con stessa matrice \(\displaystyle D \), ma la matrice di cambiamento di base \(\displaystyle S \) potrebbe differire nelle due relazioni. Quindi c'è qualcos'altro che mi sfugge, dato che ho controllato e \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^3 \) risultano uguali.
"Banzai":
Quindi c'è qualcos'altro che mi sfugge, dato che ho controllato e \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^3 \) risultano uguali.
Prendiamo una matrice A diagonalizzabile.
$A=SDS^(-1) rArr A A=A^2=SDS^(-1)SDS^(-1)=SD^2S^(-1)$
Noterai che gli autovettori sono i medesimi e puoi continuare il ciclo per $A^2A=A^3$ etc etc.
Il ragionamento l'ho capito, ma gli autovettori di \(\displaystyle A^2 \) mi risultano diversi rispetto a quelli di \(\displaystyle A \), anche perché hanno autovalori diversi:
per \(\displaystyle A \) viene $ (-1, \ \ 1, \ \ 1 ) $, $ (2, \ \ 0, \ \ 1 ) $, $ (0, \ \ 1/2, \ \ 1 ) $ e per \(\displaystyle A^2 \) viene $ (-1, \ \ 1, \ \ 1 ) $, $ (2, \ \ 0, \ \ 1 ) $, $ (-4, \ \ 1, \ \ 0 ) $. Forse perché \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^2 \) non sono simili?
Invece per \(\displaystyle A^3 \) funziona perché essa è simile ad \(\displaystyle A \) e per la relazione da te scritta segue che è anche uguale ad A.
per \(\displaystyle A \) viene $ (-1, \ \ 1, \ \ 1 ) $, $ (2, \ \ 0, \ \ 1 ) $, $ (0, \ \ 1/2, \ \ 1 ) $ e per \(\displaystyle A^2 \) viene $ (-1, \ \ 1, \ \ 1 ) $, $ (2, \ \ 0, \ \ 1 ) $, $ (-4, \ \ 1, \ \ 0 ) $. Forse perché \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle A^2 \) non sono simili?
Invece per \(\displaystyle A^3 \) funziona perché essa è simile ad \(\displaystyle A \) e per la relazione da te scritta segue che è anche uguale ad A.
È una pura illusione ottica Banzai.
Rispetto alla matrice A i vettori $a=(2, 0, 1)$ e $b=(0, 1/2, 1)$ hanno autovalori diversi per cui appartengono ad autospazi diversi.
Rispetto alla matrice $A^2$ invece appartengono al medesimo autospazio perché entrambi associati all'autovalore 1. Per cui ne sono una base e qualsiasi loro combinazione lineare sta ancora nel medesimo autospazio e quindi è un autovettore di $A^2$ relativo all'autovalore 1.
Prova a fare $2b-2a$
Puoi sincerarti che b sia un autovettore anche usando la definizione $A^2b=lambdab$ e vedrai che $lambda=1$
Certo che sei diffidente
Rispetto alla matrice A i vettori $a=(2, 0, 1)$ e $b=(0, 1/2, 1)$ hanno autovalori diversi per cui appartengono ad autospazi diversi.
Rispetto alla matrice $A^2$ invece appartengono al medesimo autospazio perché entrambi associati all'autovalore 1. Per cui ne sono una base e qualsiasi loro combinazione lineare sta ancora nel medesimo autospazio e quindi è un autovettore di $A^2$ relativo all'autovalore 1.
Prova a fare $2b-2a$
Puoi sincerarti che b sia un autovettore anche usando la definizione $A^2b=lambdab$ e vedrai che $lambda=1$
Certo che sei diffidente
Già, non mi ero accorto della dipendenza lineare di (−4, 1, 0).
Non confondiamo la diffidenza con la voglia di imparare. Ogni cosa messa in dubbio (che tra l'altro non ho mai detto che tu avessi torto) è un modo per giungere alla conoscenza. Se non avessi scritto quel messaggio probabilmente non mi sarei accorto della dipendenza lineare e sarei rimasto col dubbio .
Grazie ad entrambi per l'aiuto.
Non confondiamo la diffidenza con la voglia di imparare. Ogni cosa messa in dubbio (che tra l'altro non ho mai detto che tu avessi torto) è un modo per giungere alla conoscenza. Se non avessi scritto quel messaggio probabilmente non mi sarei accorto della dipendenza lineare e sarei rimasto col dubbio
.Grazie ad entrambi per l'aiuto.
Immagino che Bokonon fosse ironico, secondo me hai fatto un buon lavoro e hai proposto un bell’esercizio.
[ot]A proposito, si scrive “bel esercizio” o “bell’esercizio”? dubbio imbarazzante da scuola elementare[/ot]
Questo esercizio è la versione “baby” di un risultato di algebra che trovo molto importante. Due matrici diagonalizzabili $A$ e $B$ *che commutano* sono simili se e solo se hanno gli stessi autovalori. In questo esercizio, il posto di $B$ è stato preso da $A^2$ e $A^3$, che ovviamente commutano con $A$.
[ot]A proposito, si scrive “bel esercizio” o “bell’esercizio”? dubbio imbarazzante da scuola elementare[/ot]
Questo esercizio è la versione “baby” di un risultato di algebra che trovo molto importante. Due matrici diagonalizzabili $A$ e $B$ *che commutano* sono simili se e solo se hanno gli stessi autovalori. In questo esercizio, il posto di $B$ è stato preso da $A^2$ e $A^3$, che ovviamente commutano con $A$.
@Banzai Un altro modo per risolvere l'esercizio è il seguente;
essendo \(\displaystyle A\) diagonalizzabile, questa è riscrivibile come \(\displaystyle P^{-1}DP\), con \(\displaystyle D\) matrice diagonale aventi i soli autovalori di \(\displaystyle A\) (con le opportune molteplicità); quindi \(\displaystyle A^k=P^{-1}D^kP\) con \(\displaystyle k\in\mathbb{N}_{\geq0}\) [Esercizio.]
Nel tuo caso, per i soli \(\displaystyle k\) dispari ottieni che \(\displaystyle A\) ed \(\displaystyle A^k\) sono simili: perché?
@dissonance [ot]Secondo la Treccani dovresti scrivere "bell'esercizio!".[/ot]
essendo \(\displaystyle A\) diagonalizzabile, questa è riscrivibile come \(\displaystyle P^{-1}DP\), con \(\displaystyle D\) matrice diagonale aventi i soli autovalori di \(\displaystyle A\) (con le opportune molteplicità); quindi \(\displaystyle A^k=P^{-1}D^kP\) con \(\displaystyle k\in\mathbb{N}_{\geq0}\) [Esercizio.]
Nel tuo caso, per i soli \(\displaystyle k\) dispari ottieni che \(\displaystyle A\) ed \(\displaystyle A^k\) sono simili: perché?
@dissonance [ot]Secondo la Treccani dovresti scrivere "bell'esercizio!".
[/ot]
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