Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ragazzi ecco un esercizio da compito:
Sia T: R2(t) --> R3(t), un'applicazione lineare tale che T(t)= t^3 - t^2 + t +8 ,, T(2t + 8) = 0 ,, e T( t^2 - t ) = 3t^2 - 3t ...
1) Discuti l'esistenza e l unicita di T
2) Trova dimensione e base dello spazio U= ImT
3) Dato W= p(t) appartenente a R3(t) : p'' (t) è il polinomio nullo..Derivata doppia.. verifica che W è un sottospazio vettoriale di R3(t) e trovane una dimensione e una base..
4) Trova una base di U+W e U intersez.W
....
il primo e il ...
Sia U il sottospazio di R3 generato da (e1)-2(e2) , (e1)+(e3). Sia f : U -> U l’applicazione lineare definita
ponendo f((e1)-2(e2)) = 3(e1)-2(e2) +2(e3), f(e1 +e3) = 6(e1)-4(e2)+4(e3). Posto B = {(e1)-2(e2) , e1 +e3}, calcolare la matrice associata ad f.
Rappresentare f in termini delle coordinate (x, y) rispetto alla base B. Calcolare una base per il nucleo di f.
Ho bisogno di una spiegazione molto dettagliata, perché ho visto anche altri esercizi di questa tipologia svolti, ma nonostante ciò ...
Ciao ragazzi ecco l'esercizio:
Dato il sottospazio U= Span ((1 2 1 0),(1 0 3 1),(0 1 1 4)) di R4.
1- Trova dimensioni di U e le sue equazioni cartesiane
IO ho fatto cosi: messo in una matrice, calcolato il rango ho visto che era dimensione 3, e le sue equazioni cartesiane (non so se è giusto mi vengono: x+y=0, 2x+z=0, x+3y+z=0, y+4z=0 ... è giusto???
2- Trova una base ortogonale e una base ortonormale di U ..... non ho mai fatto cose del genere come si trovano? so trovare solo la base ...
Ciao a tutti!
Ho un dubbio circa questo esercizio.
Dato il fascio di parabole \(\displaystyle y=ax^2 + (1-2a)x +a+1 \) caratterizzare i punti del piano per i quali passa una ed una sola parabola.
Ho studiato il fascio e ho trovato che le due generatrici sono \(\displaystyle y-x-1=0\) e \(\displaystyle(x-1)^2=0 \). Ho un solo punto base \(\displaystyle A(1;2) \) per cui avrò un fascio di parabole tangenti in \(\displaystyle A \). Per questo mi è chiaro che devo escludere \(\displaystyle x=1 ...
Fissato nello spazio un riferimento monometrico ortogonale Oxyz, consideri i punti: A(2,-1,3), B (1,2,-1), C(3,2,1) e i vettori: U=AB , V=AC, trovare:
1) la componente ortogonale di u su v
2) l'area del triangolo ABC
3) la retta r per A e B, il piano per C perpendicolare ad r;
4) trovare la retta tangente alla curva φ di equazioni: (X=t^3-1 , Y=2t+1 , Z=t^2+1) nel punto P (0,3,2);
5) trovare l'equazione cartesiana del cilindro avente come direttrice la curva φ e le generatrici parallele ...
Scusate il problema banale, ma non riesco proprio a risolverlo.
Devo calcolare l'eq. della conica inscritta nel triangolo ABC dove A(-1,0), B(1,0) e C(1,2) e circoscritta al triangolo OPQ con O(0,0), P(1,1) e Q(0,1)
Considerando l'eq. generica $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$, ho provato a imporre il passaggio per O (da cui f=0), il passaggio per Q (da cui e=-c) e per P (da cui a+b+c+d+e=0).
A questo punto però come faccio a imporre che la conica sia circoscritta?
Io pensavo di imporre che fosse tangente ...
Ciao a tutti, chiedo aiuto per la risoluzione di questo esercizio:
Sia $ {c_i} $ una base ortonormale nell'insieme dei vettori fisici $ V_3 $ .
a) Determinare il modulo ed il versore del vettore $ v $ le cui componenti nella base $ {c_i} $ sono $ (1,2,-3) $ .
Questo è il primo punto..Allora io so che $ |v|= sqrt(v*v) $ quindi dai dati che ho dovrei prima trovare il vettore $ v $ che dovrebbe essere espresso dalla formula ...
Ho una curiosità che non mi fa prendere sonno: se prendo un nastro di Möbius e lo faccio ruotare intorno ad un asse, che cosa ottengo? Una superficie? Eppure il nastro stesso è già una superficie...
Ora come è noto, esiste una solida teoria dietro le superfici di rotazione, ma esite um qualcosa di analogo per le "rotazioni di superfici" ?
Forse non ho nemmeno usato il termine corretto e vi chiedo pertanto di illuminarmi al riguardo.
Ragazzi mi potete aiutara su questa domanda filtro? non l'ho proprio capita e non so come rispondere...:
Esiste un endomorfismo T: R3-->R3 , tale che e1 (primo elemento base canonica) appartiene sia al kerT sia a ImT .... potete spiegarmi il perche della risposta si o no che fosse?.. grazie
Salve a tutti, ho delle difficoltà a capire come risolvere questo esercizio.
Data l'applicazione lineare \(\displaystyle f:\mathbb{R}^2 → \mathbb{R}^3\) tale che \(\displaystyle f(1,0)=(1,0,1) \) e \(\displaystyle f(0,1)=(0,1,1) \), determinare la matrice associata a \(\displaystyle f \) nei riferimenti \(\displaystyle R=((1,0),(0,1)) \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) e \(\displaystyle R'=((1,0,0),(0,1,1),(1,0,1)) \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \).
In rete ho trovato degli esempi ...
Ciao a tutti, ho bisogno di aiuto da un punto di vista topologico: come faccio a capire che l'intorno aperto di un punto in R^3 è omeomorfo ad un disco aperto o a un semidisco aperto in R^2?
Definizione di omeomorfismo= corrispondenza biunivoca fra spazi topologici tale che un sottoinsieme A di X è aperto se e solo se lo è la sua immagine f(A) in Y.
Mi servirebbe una spiegazione da un punto di vista grafico. Grazie a tutti.
Ciao a tutti, spero che qualcuno di voi possa darmi una mano a risolvere questo esercizio o quanto meno questa tipologia (ove intervengono sommatorie e matrici) di dimostrazioni induttive.
Dimostrare per induzione che:
$[[3,1],[0,1]]^n$=$[[3^n,sum_{j=0}^(n-1) 3^j],[0,1]]$
Allora:
- caso base: $n_0$=1, la proprietà P(1) è vera.
- passo induttivo: sia n$>=$$n_0$, ed assumo che la proprietà P(n) sia vera.
Devo provare P(n+1), e ...
Siano $V_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x=y \}$ e $V_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | y=-2z \}$ , siano $f_1,f_2:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ le applicazioni lineari definite rispettivamente da:
$f_1(a,a,b)=(2a,2a,a+2b)$ , $\forall(a,a,b)\inV_1$
$f_2(a,b,-2b)=(2a,2b,-3b)$ , $\forall(a,b,-2b)\inV_2$
Si provi che esiste un'applicazione linare $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tale che $f_{|V_i}=f_i$ , $i=1,2$.
Come si può risolvere? all'inizio avevo pensato a trovare le matrici associate a $f_1$ e $f_2$ però alla fine non si è rivelata una cosa molto utile ... a ...
determinare le equazioni delle sfere di raggio $5$ aventi centro $C$ sulla retta r di equazioni
$ x=2z$
$y=z-1$
che tagliano il piano$ x-y+2z-4=0$
secondo una circonferenza di raggio $4$.
essendo C in r le sue coordinate sono $C=(2z,z-1,z)$
l'eq della sfera di centro C e raggio 5 è: $(x-2z)^(2)+(y-z+1)^(2)=25$ ovvero $x^(2)+y^(2)+5z^(2)-4zx-2yz+2y-2z=24$
l'eq della circonferenza centro $A=(x_0,y_0)$ e raggio 4 è: ...
a)scrivere l'equazione parabola non degenere noti $A(0,1)$ $B(2,1)$ $O(0,0)$ e la tangente in $A$ che è parallela alla retta $BO$.
b)si scrivano l'equazione della polare del punto improprio di t, le coordinate le punto improprio della parabola e l'equazione dei suoi diametri.
la retta $BO$ ha equazione $ Y=x/2$
la tangente in $A$ ha equazione $Y=1+1/2x$
come scrivo il fascio di parabole ...
ciao a tutti
devo determinare i valori del parametro k per i quali la retta:
x-y = x-kz-1=0
è COMPLANARE alla retta
y+z = z-3 = 0
--------
io ho scritto le due rette in forma parametrica:
x = t
y = t
z = -1/k + t/k
x = t
y = -3
z = 3
ho fatto il determinante della matrice
[ (1, 1, 1/k) , (1, 0, 0), (0, 3, -1/k -3) ]
e ho visto dove il determinante diventa nullo, ossia per k = -4/3
il problema è che trovo un valore solo di k. il testo parla di VALORI!
(nel successivo punto ...
Ciao a tutti!
L'esercizio che dovrei risolvere è questo:
Date 3 rette parallele, esiste sempre un triangolo equilatero i cui vertici appartengono ciascuno ad una delle tre rette?
Secondo me sì, ma non riesco a dimostrarlo.. Qualcuno mi dà una dritta su come procedere? Grazie!
ciao a tutti
devo trovare il luogo dei punti che hanno distanza uguale ad 1, dalla retta di equazione:
x+y-z = 0
x+y+z = 0
--
immagino che bisogna trovare una superficie cilindrica, con l'asse del cilindro come retta.
sinceramente non riesco a partire con l'esercizio, ho ipotizzato di:
- prendere una retta parallela a quella data, distante 1 e farla ruotare
- oppure ragionare sulla circonferenza posta sulla retta
chi mi indirizza?
grazie e ciao
CIAO!
Data la linea di equazione parametriche:
x=t
y=3t
z=t+1
dire se la linea è piana o sghemba, determinando eventualmente un piano contenente la linea.
Sono arrivata fino qui ma non riesco ad andare avanti:
a(t)+b(3t)+c(t+1)+d=0
at+3bt+ct+c+d=0
t(a+3b+c)+c+d=0
c+d=0
a+3b+c=0
Grazieeeeee!!!!!!!!!!!
ciao a tutti
vi scrivo perchè non so come venire a capo di un esercizio di geometria nello spazio.
la richiesta è :
determinare l'equazione del cilindro ottenuto dalla rotazione della retta r di equazioni x=y=2 attorno all'asse delle z.
la risposta deve essere una cosa veloce da trovare perchè si tratta di un pretest per accedere all'esame.
sinceramente il mio problema attuale è che non riesco ad immaginare la retta x=y=2!
oltre a questa richiesta ci sono delle scelte multiple relative ...
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