Matrice associata a f in R ed R'.

[Kurtis92]

Salve a tutti, ho delle difficoltà a capire come risolvere questo esercizio.

Data l'applicazione lineare \(\displaystyle f:\mathbb{R}^2 → \mathbb{R}^3\) tale che \(\displaystyle f(1,0)=(1,0,1) \) e \(\displaystyle f(0,1)=(0,1,1) \), determinare la matrice associata a \(\displaystyle f \) nei riferimenti \(\displaystyle R=((1,0),(0,1)) \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) e \(\displaystyle R'=((1,0,0),(0,1,1),(1,0,1)) \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \).

In rete ho trovato degli esempi circa matrici associate a riferimenti canonici e nulla di simile al mio problema...sinceramente non so da dove cominciare...potreste aiutarmi nello svolgimento?

Ringrazio anticipatamente.

[Kurtis92]

Eh, ma in questo caso non so come applicarla!

[Kurtis92]

Ho semplicemente chiesto un aiuto nello svolgimento dell'esercizio, non ho mai chiesto l'esercizio già bello e fatto, credo di esser stato abbastanza chiaro su questo. Conosco il regolamento del forum, conosco la vostra filosofia, la accetto pure altrimenti non mi sarei mai rivolto a voi. Io ho chiesto soltanto di essere aiutato a svolgere l'esercizio, non che qualcuno lo faccia al posto mio, ma nel senso che dopo me lo faccio io...o al massimo, come hai detto te, insieme.

Detto ciò...

Presi su un campo \(\displaystyle K \) due spazi vettoriali, ossia \(\displaystyle V \) di \(\displaystyle dim=n \) e \(\displaystyle W \) di \(\displaystyle dim=m \), definiamo un'applicazione lineare \(\displaystyle f:V→W \). Fissato in \(\displaystyle V \) un riferimento \(\displaystyle R=(e_1,e_2,...,e_n) \) e in \(\displaystyle W \) un riferimento \(\displaystyle R'=(e'_1,e'_2,...,e'_n) \), è possibile aassociare a \(\displaystyle f \) una matrice sul campo \(\displaystyle K \), definita per colonne così:
\(\displaystyle C_1 = Φ_R' (f(e_1)), C_2 = Φ_R' (f(e_2)),..., C_n = Φ_R' (f(e_n)) \)
dove \(\displaystyle Φ_R':W→K^m \) è l'isomorfismo coordinato associato al riferimento \(\displaystyle R' \). La matrice \(\displaystyle A=||C_1,C_2,...,C_n|| ∈ K^(m,n) \) è detta matrice associata ad \(\displaystyle f \) rispetto ai riferimenti \(\displaystyle R \) ed \(\displaystyle R' \).

[Kurtis92]

"Sergio":Ti chiedo scusa.
Dopo solo un paio di messaggi non è possibile capire chi sta dall'altra parte e, purtroppo, succede spesso (è successo anche molto recentemente) che si avvicini al forum qualcuno che....
Va be', lasciamo stare.
Ti chiedo ancora scusa, sono contento che tu sia fra di noi, spero che ci resterai a lungo.

Scuse accettate.

Questa definizione di matrice associata effettivamente è molto più chiara, ti ringrazio!

Ora, giusto per verificare se ho capito l'ultimo passaggio, ovvero quello in cui si vede se la matrice \(\displaystyle m \) x \(\displaystyle n \) ottenuta è quella giusta...

Se prendiamo un vettore \(\displaystyle u=(3,4) \) e calcolo \(\displaystyle f(u) \).
Dunque...
\(\displaystyle u=3(1,0)+4(0,1) \), \(\displaystyle f(u)=f(3(1,0)+4(0,1)) \)
\(\displaystyle 3f(3,0)+4f(0,4)=(3,4,7) \)

\(\displaystyle { h_1+h_3=3 } \)
\(\displaystyle { h_2=4 } \)
\(\displaystyle { h_2+h_3=7 } \)

Le coordinate di \(\displaystyle (3,4,7) \) rispetto a \(\displaystyle R' \) sono \(\displaystyle (0,4,3) \), perché...

\[\begin{bmatrix}3\\4\\7\end{bmatrix}=
0\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\1\\1\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\4\\4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3\\0\\3\end{bmatrix}\]

Giusto?

[Kurtis92]

Ottimo, grazie mille per l'aiuto, gentilissimo!