Dubbio esercizio sottospazio

[fillo93]

salve a tutti, come da titolo, ho una questione da porvi alla quale non riesco proprio a trovare soluzione

dato $ S={(x,y,z,t) in R^4 : x-y+z=0,y+z-t=0}$
devo dimostrare che esso è un sottospazio vettoriale di $R^4$

ricavo quindi due variabili ottenendo $(y-z,y,z,y+z)$
a questo punto controllo se in S è contenuto il vettore nullo oltre alla chiusura rispetto a somma/prodotto
1) $V_0$ è facilmente verificabile;
2) se $v in V$ devo verificare se $\alpha*v in V$
per cui $\alpha(y1-z1 , y1 , z1 , y1+z1)= (\alpha(y1-z1) , \alpha*y1, \alpha*z1 , \alpha*(y1+z1))$
ora, non mi è chiaro come dedurre se $ (\alpha(y1-z1) , \alpha*y1, \alpha*z1 , \alpha*(y1+z1)) in V$
3) stesso dubbio per la somma
se $v,w in V$ devo verificare se $v+w in V$
$v=(y1-z1 , y1 , z1 , y1+z1), w=(y2-z2 , y2 , z2 , y2+z2)$
$v+w= ((y1-z1)+(y2-z2) , y1+y2, z1+z2, (y1+z1)+(y2+z2))$

e qui però mi blocco di nuovo...

[fillo93]

innanzitutto grazie!
sapevo di avere confusione a riguardo in testa; la tua risposta mi ha chiarito alcune cose ma forse non tutte

Se prendo $S={(x,y) in R^2 : xy=0}$ e voglio verificare se è un sottospazio di $R^2$ (ipotizzando di non vedere al volo che se prendo due vettori (0,1) e (1,0) non è chiuso alla somma)
1) vettore nullo contenuto
2) somma: Sia $v=(x_1, y_1) in V$ e $ w=(x_2, y_2) in V$
$v+w = (x_1+x_2, y_1+y_2)$
cioè $(x_1+x_2)*(y_1+y_2)=(x_1*y_1)+(x_2*y_2)$
ovvero $x_2*y_1+x_1*y_2=0$. Come deduco che non è contenuto in V?
se mi dovessi rispondere da solo direi che non ho nessun elemento per dire che $x_2*y_1=0$ e$x_1*y_2=0$ e quindi non posso concludere che la somma è 0; ma la risposta non penso sia corretta!