Applicazioni lineari [esercizio]

[Clamina1]

Siano $V_1=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | x=y \}$ e $V_2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 | y=-2z \}$ , siano $f_1,f_2:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ le applicazioni lineari definite rispettivamente da:
$f_1(a,a,b)=(2a,2a,a+2b)$ , $\forall(a,a,b)\inV_1$
$f_2(a,b,-2b)=(2a,2b,-3b)$ , $\forall(a,b,-2b)\inV_2$
Si provi che esiste un'applicazione linare $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ tale che $f_{|V_i}=f_i$ , $i=1,2$.
Come si può risolvere? all'inizio avevo pensato a trovare le matrici associate a $f_1$ e $f_2$ però alla fine non si è rivelata una cosa molto utile ... a dir il vero non ho la minima idea di come poterlo risolvere ... qualcuno mi piò dare una mano?? vi ringaizio!

[laura1232]

Dall'applicazione che hai scritto sembrerebbe che $V_2=\{(x,y,z)∈RR^3∣z=−2y\}$ in tal caso l'applicazione richiesta è:
$f(x,y,z)=(2x,2y,y+2z)$ puoi verificare che soddisfa le richieste.

[vittorino70]

Sono del parere di Laura. Mi permetto di esplicitare la soluzione come segue ( per i vettori scelgo la notazione orizzontale).
Scegliendo opportunamente a e b, possiamo porre:
\(\displaystyle \begin{cases}f_1(1,1,-2)=(2,2,-3)\\f_2(1,1,-2)=(2,2,-3)\\f_1(0,0,1)=(0,0,2)\\f_2(1,0,0)=(2,0,0)\end{cases} \)
Un'applicazione lineare f che soddisfi tutte le precedenti condizioni può essere quella per la quale è :
(1) \(\displaystyle \begin{cases}f(1,1,-2)=(2,2,-3)\\f(0,0,1)=(0,0,2)\\f(1,0,0)=(2,0,0)\end{cases} \)
Poiché i vettori \(\displaystyle (1,1,-2),(0,0,1),(1,0,0) \) sono l.i. è possibile trovare l'espressione algebrica di f procedendo al solito modo. Senza andare nei particolari si ha :
\(\displaystyle (x,y,z)=y(1,1,-2)+(2y+z)(0,0,1)+(x-y)(1,0,0) \)
Passando alle immagini e tenendo conto delle (1), risulta:
\(\displaystyle f(x,y,z)=y(2,2,-3)+(2y+z)(0,0,2)+(x-y)(2,0,0)=(2x,2y,y+2z) \)