Esercizio applicazione lineare
Ragazzi ecco un esercizio da compito:
Sia T: R2(t) --> R3(t), un'applicazione lineare tale che T(t)= t^3 - t^2 + t +8 ,, T(2t + 8) = 0 ,, e T( t^2 - t ) = 3t^2 - 3t ...
1) Discuti l'esistenza e l unicita di T
2) Trova dimensione e base dello spazio U= ImT
3) Dato W= p(t) appartenente a R3(t) : p'' (t) è il polinomio nullo..Derivata doppia.. verifica che W è un sottospazio vettoriale di R3(t) e trovane una dimensione e una base..
4) Trova una base di U+W e U intersez.W
....
il primo e il secondo punto l'ho fatti...il problema è il 3°
punto 3 il problema anche qui è l inizio, perchè una volta che trovo i vettori linear.indipendenti, so farlo ma in questo caso non li riesco a trovare..io ho provato a fare cosi:
6at + 2b=0 , ricavo b= -6at/2 ... lo sostituisco in p(t) mi viene: at^3 - 3at^3 + ct + d =0 --> -2at^3 + ct + d =0 .... d= 2at^3 - ct ... i vettori sono : (1 0 0 2),(0 0 1 -1).... penso che non sia giusto..voi che mi dite??
punto 4 se mi risolvete il 3 lo so fare..
Sia T: R2(t) --> R3(t), un'applicazione lineare tale che T(t)= t^3 - t^2 + t +8 ,, T(2t + 8) = 0 ,, e T( t^2 - t ) = 3t^2 - 3t ...
1) Discuti l'esistenza e l unicita di T
2) Trova dimensione e base dello spazio U= ImT
3) Dato W= p(t) appartenente a R3(t) : p'' (t) è il polinomio nullo..Derivata doppia.. verifica che W è un sottospazio vettoriale di R3(t) e trovane una dimensione e una base..
4) Trova una base di U+W e U intersez.W
....
il primo e il secondo punto l'ho fatti...il problema è il 3°
punto 3 il problema anche qui è l inizio, perchè una volta che trovo i vettori linear.indipendenti, so farlo ma in questo caso non li riesco a trovare..io ho provato a fare cosi:
6at + 2b=0 , ricavo b= -6at/2 ... lo sostituisco in p(t) mi viene: at^3 - 3at^3 + ct + d =0 --> -2at^3 + ct + d =0 .... d= 2at^3 - ct ... i vettori sono : (1 0 0 2),(0 0 1 -1).... penso che non sia giusto..voi che mi dite??
punto 4 se mi risolvete il 3 lo so fare..
Risposte
Devi utilizzare i codici per scrivere le formule matematiche.
Trovi tutto nel regolamento!
Trovi tutto nel regolamento!
ho sempre scritto cosi, e hanno sempre capito.. non penso sia incomprensibile.. scrivo direttamente quello che serve a me :
3) Dato W= {p(t) appartenente a R3(t) : p'' (t) (derivata doppia) è il polinomio nullo... verifica che W è un sottospazio vettoriale di R3(t) e trovane una dimensione e una base..
3) Dato W= {p(t) appartenente a R3(t) : p'' (t) (derivata doppia) è il polinomio nullo... verifica che W è un sottospazio vettoriale di R3(t) e trovane una dimensione e una base..
Di norma se ci sono delle regole in una comunità un motivo ci sarà. Poi regolati tu!
si le regole vanno rispettate, scusa, però se una cosa è esprimibile anche cosi provo ad evitare a scrivere in quel linguaggio, pero se adesso un utente mi dice: guarda te lo dico io come si risolve però purtroppo non capisco allora lo scrivo come dici tu..
Tu devi fare come meglio credi, non so qui per accusarti. Ti ho dato solo un consiglio!
Io personalmente non ci capisco molto di quello che hai scritto per questo ti consigliavo di scrivere le formule in modo corretto. Anche perchè già vedere scritto (derivata doppia) mi ha fatto rabbrividire...
Io personalmente non ci capisco molto di quello che hai scritto per questo ti consigliavo di scrivere le formule in modo corretto. Anche perchè già vedere scritto (derivata doppia) mi ha fatto rabbrividire...
derivata doppia era riferito a : p''(t) ...siccome gli apostrofi troppo attaccati non si vedono l'ho specificato..
Il tuo $W={ p(t) in RR_3[t] | (d^2p)/(dt)=0}$ ?
Per verificare che è un sottospazio devi verificare che dati $f(t),g(t) in RR_3[t] => f(t)+g(t) in RR_3$
ma ciò è vero. Infatti se $f''(t)=0 , g''(t)=0 => f''(t)+g''(t)=0+0=0$.
Ora , essendo la derivata seconda di O(t)=0 ,si ha anche che il polinomio nullo appartiene a $W$. Dunque $W$ è un sottospazio. Il resto, te lo diranno altri.
PS : Scrivi con le formule per piacere, è una tortura leggere con questo tipo di caratteri. E tutto poco chiaro e inoltre scrivere con le formule è nel regolamento, che tu, hai deciso di accettare , una volta iscritto qui.
Ciao!
PPS : Si dice derivata seconda, non doppia..
Per verificare che è un sottospazio devi verificare che dati $f(t),g(t) in RR_3[t] => f(t)+g(t) in RR_3$
ma ciò è vero. Infatti se $f''(t)=0 , g''(t)=0 => f''(t)+g''(t)=0+0=0$.
Ora , essendo la derivata seconda di O(t)=0 ,si ha anche che il polinomio nullo appartiene a $W$. Dunque $W$ è un sottospazio. Il resto, te lo diranno altri.
PS : Scrivi con le formule per piacere, è una tortura leggere con questo tipo di caratteri. E tutto poco chiaro e inoltre scrivere con le formule è nel regolamento, che tu, hai deciso di accettare , una volta iscritto qui.
Ciao!
PPS : Si dice derivata seconda, non doppia..
ah è vero infatti mi suonava strano derivata doppi XD..ok scusate..comunque grazie per aver scritto la formula si è corretta, pero a me interessava piu che la dimostraziona di essere sottospazio, la seconda parte, cioe trovare dimensione e base..grazie comunque 
@epidemia92
Non devi risolvere l'equazione \(\displaystyle 6at+2b=0 \) rispetto a t . Devi invece stabilire che quell'equazione sia
identicamente soddisfatta per ogni valore di t. Ciò avviene solo e solo se sono tutti nulli i coefficienti dell'equazione medesima: \(\displaystyle a=0,b=0 \).-Pertanto i polinomi richiesti sono del tipo \(\displaystyle ct+d \).
Contenenti essi due variabili libere c e d, si può concludere che la dimensione dello spazio vettoriale di tali polinomi
è 2 e che una base di tale spazio si può avere ponendo una volta \(\displaystyle c=1 ,d=0 \) ed un'altra
\(\displaystyle c=0,d=1 \) . In tal modo, prendendo solo i coefficienti dei polinomi in questione, una base è :
\(\displaystyle \{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} \)
Non devi risolvere l'equazione \(\displaystyle 6at+2b=0 \) rispetto a t . Devi invece stabilire che quell'equazione sia
identicamente soddisfatta per ogni valore di t. Ciò avviene solo e solo se sono tutti nulli i coefficienti dell'equazione medesima: \(\displaystyle a=0,b=0 \).-Pertanto i polinomi richiesti sono del tipo \(\displaystyle ct+d \).
Contenenti essi due variabili libere c e d, si può concludere che la dimensione dello spazio vettoriale di tali polinomi
è 2 e che una base di tale spazio si può avere ponendo una volta \(\displaystyle c=1 ,d=0 \) ed un'altra
\(\displaystyle c=0,d=1 \) . In tal modo, prendendo solo i coefficienti dei polinomi in questione, una base è :
\(\displaystyle \{(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} \)
tu pero dici : 6at+2b=0.. è vero se e solo se.. a=0 e b=0... xo è anche vero se b=-3at.. no??? perchè non lo prendi in considerazione?..
perchè allora in un mio vecchio esercizio era nella stessa situazione pero invece di avere: P''(t)=0 ... avevo:
{P(1)=0, P(-1) =0 }...e ho visto che si faceva:
a +b +c +d=0 ,e a -b +c -d=0... costruivo una matrice mettendo su una riga: a b c d .. nella riga sotto: a -b +c -d .....
facevo la riduzione a scala e mi veniva 2b= -2d... b=-d .... quindi sostituendo in quella sopra: a+c-d+d=0 --> a=-c..
da cui ottenevo : P(t)= -c -dt +ct^2 +dt^3 ..... (-1 0 1 0) , (0 -1 0 1) ...
perchè qui faceva cosi allora???
perchè allora in un mio vecchio esercizio era nella stessa situazione pero invece di avere: P''(t)=0 ... avevo:
{P(1)=0, P(-1) =0 }...e ho visto che si faceva:
a +b +c +d=0 ,e a -b +c -d=0... costruivo una matrice mettendo su una riga: a b c d .. nella riga sotto: a -b +c -d .....
facevo la riduzione a scala e mi veniva 2b= -2d... b=-d .... quindi sostituendo in quella sopra: a+c-d+d=0 --> a=-c..
da cui ottenevo : P(t)= -c -dt +ct^2 +dt^3 ..... (-1 0 1 0) , (0 -1 0 1) ...
perchè qui faceva cosi allora???
[OT]
Ma che cavolo vuol dire? L'osservazione di Lorin - tra l'altro bellamente ignorata - è assolutamente legittima - e da regolamento, oltrepassati i 30 messaggi, l'utilizzo dei tag diviene obbligatorio. Sei tu che hai voluto iscriverti, sempre tu che hai accettato, con l'iscrizione, di attenerti alla netiquette vigente. E' ora di finirla: siamo in un forum dove si parla di Matematica e la Matematica ha (è?) un suo linguaggio. L'aria fritta la lasciamo ai filosofi, ed i geroglifici agli archeologi.
[/OT]
"epidemia92":
ho sempre scritto cosi, e hanno sempre capito.. [...]
Ma che cavolo vuol dire? L'osservazione di Lorin - tra l'altro bellamente ignorata - è assolutamente legittima - e da regolamento, oltrepassati i 30 messaggi, l'utilizzo dei tag diviene obbligatorio. Sei tu che hai voluto iscriverti, sempre tu che hai accettato, con l'iscrizione, di attenerti alla netiquette vigente. E' ora di finirla: siamo in un forum dove si parla di Matematica e la Matematica ha (è?) un suo linguaggio. L'aria fritta la lasciamo ai filosofi, ed i geroglifici agli archeologi.
[/OT]
Provo a scriverla come volete voi :
tu pero dici : $6at+2b=0$.. è vero se e solo se.. $a=0$ e $b=0$... xo è anche vero se $b=-3at$.. no??? perchè non lo prendi in considerazione?..
perchè allora in un mio vecchio esercizio era nella stessa situazione pero invece di avere: $P^{\prime}'(t)=0$ ... avevo:
${P(1)=0 , P(-1)=0}$...e ho visto che si faceva:
$a+b+c+d=0 ,$ $a-b+c-d=0 ,$... costruivo una matrice mettendo su una riga: a b c d .. nella riga sotto: a -b +c -d .....
facevo la riduzione a scala e mi veniva $2b= -2d... b=-d$ .... quindi sostituendo in quella sopra: $a+c-d+d=0$ $->$ $a=-c$.
da cui ottenevo : $P(t)= -c -dt +ct^2 +dt^3$ ..... (-1 0 1 0) , (0 -1 0 1) ...
perchè qui faceva cosi allora???
tu pero dici : $6at+2b=0$.. è vero se e solo se.. $a=0$ e $b=0$... xo è anche vero se $b=-3at$.. no??? perchè non lo prendi in considerazione?..
perchè allora in un mio vecchio esercizio era nella stessa situazione pero invece di avere: $P^{\prime}'(t)=0$ ... avevo:
${P(1)=0 , P(-1)=0}$...e ho visto che si faceva:
$a+b+c+d=0 ,$ $a-b+c-d=0 ,$... costruivo una matrice mettendo su una riga: a b c d .. nella riga sotto: a -b +c -d .....
facevo la riduzione a scala e mi veniva $2b= -2d... b=-d$ .... quindi sostituendo in quella sopra: $a+c-d+d=0$ $->$ $a=-c$.
da cui ottenevo : $P(t)= -c -dt +ct^2 +dt^3$ ..... (-1 0 1 0) , (0 -1 0 1) ...
perchè qui faceva cosi allora???
Si tratta di due cose assolutamente diverse. Nel tuo vecchio esercizio si chiedeva di trovare il polinomio P(t) che si
annullasse solo per t=-1 e per t=1. Qui invece di chiede che la derivata seconda P''(t) sia il polinomio nullo, che si annulli cioè per qualsiasi valore di t...non soltanto per \(\displaystyle t=-\frac{b}{3a} \)
annullasse solo per t=-1 e per t=1. Qui invece di chiede che la derivata seconda P''(t) sia il polinomio nullo, che si annulli cioè per qualsiasi valore di t...non soltanto per \(\displaystyle t=-\frac{b}{3a} \)
aaaah capito, vittorio grazie mille, sei stato uno dei pochi che mi ha risposto in due discussioni,comunque avevo pensato che la differenza stava nella t, ma il mio problema è che non mi fido del pensiero, se trovo qualcuno disposto ad aiutarmi, cerco di avere la certezza..grazie ancora!!
Ps. nel caso mi trovavo nella situazione in cui si annullava per qualunqu t, ma ad esempio avevo due condizioni? tipo:
$P'(t)=0, P(t)=0$.. come dovrei fare??..facevo il sistema delle due condizioni e sostituivo??
Ps. nel caso mi trovavo nella situazione in cui si annullava per qualunqu t, ma ad esempio avevo due condizioni? tipo:
$P'(t)=0, P(t)=0$.. come dovrei fare??..facevo il sistema delle due condizioni e sostituivo??
Si, certo.
nel caso di R2(t).... ottenevo : $2at + b=0$ ,$at^2 +bt + c=0$ ... la prima diventa: $b=-2at$..lo metto nella seconda che diventa $at^2 -2at^2 + c=0$..e da qui poi? come procedo?? vedo che $-at^2+c=0$ ....e cosa ottengo?? che è 0 solo se: $a e c =0$??..quindi mi rimane che dipende solo da b, quindi (0,1,0)...??? mmm..non mi convince..
Se non posti l'intera traccia ( o almeno quella parte che riguarda il nostro caso ) sarà difficile dare una risposta definitiva. Per esempio, nel nostro caso, P''(t)=0 significa che la derivata seconda è identicamente nulla, ma nel caso di P(t)=0,P'(t)=0 che vuoi significare ? Francamente non si può rispondere se posti i quesiti in maniera così frammentata..
no guarda, non è un esercizio che ho sotto mano, era per parlarti di questo caso, allora in caso della derivata seconda la pongo =0 e rispetto a t vedo che è 0 solo se a e b =0..quindi rimangono c e d.....ora metti caso il testo mi chiede la stessa cosa di prima però invece di darmi la derivata seconda =0, mi da quello che ho scritto io P(t)=0,P'(t)=0..... e metti caso che non siamo in R3(t) ,ma in R2(t)..cosi velocizziamo i calcoli...come procedo, metto a sistema le due equazioni come ho fatto sopra..poi???..sempre per trovare dimensione e base..
Se P(t)=0, P'(t)=0 vuol dire che sia P(t) che P'(t) devono essere identicamente nulli ,allora la seconda condizione è superflua, dal momento che se P(t) è identicamente nullo lo è automaticamente anche la sua derivata prima ( ed anche quelle successive 
). Insomma stiamo ragionando sulle ...nuvole !
Quello che ti posso ripetere è che una cosa è dire che un polinomio deve essere identicamente nullo ed un'altra è che deve annullarsi per qualche valore assegnato. Nel primo caso i suoi coefficienti devono essere tutti nulli; nel secondo caso il polinomio ha qualche radice assegnata. L'uso che si fa di queste condizione viene a dipendere dal contesto del problema. Tutto qui.
). Insomma stiamo ragionando sulle ...nuvole !Quello che ti posso ripetere è che una cosa è dire che un polinomio deve essere identicamente nullo ed un'altra è che deve annullarsi per qualche valore assegnato. Nel primo caso i suoi coefficienti devono essere tutti nulli; nel secondo caso il polinomio ha qualche radice assegnata. L'uso che si fa di queste condizione viene a dipendere dal contesto del problema. Tutto qui.
Capito, grazie per la chiarezza vittorio te ne sono grato, se c'è qualche modo per apprezzare in questo forum o per mettere qualche segnalazione positiva dimmelo che lo faccio immediatemente..
grazie ancora!!
grazie ancora!!
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