Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Vorrei dimostrare che la commutatività dell'addizione di due elementi di uno spazio vettoriale è una proprietà che deriva dagli altri assiomi di spazio vettoriale..
Avrei pensato di fare così:
Prendiamo due vettori qualsiasi di uno spazio vettoriale su R,
La mia tesi è questa : $\bar u+\bar v=\bar v+\bar u$
Le ipotesi sono tutti gli altri assiomi di spazio vettoriale
$\bar u+\bar v$ A questi due vettori aggiungo il vettore nullo che per assioma di spazio vettoriale non altera la ...
Ciao a tutti!!
vi vorrei presentare il seguente problema: inizialmente pensavo la forma canonica di jordan fosse quel rappresentate nella classe di coniugio (su $CC$) che massimizza gli zeri, tuttavia ho trovato il seguente controesempio
A= $((0,2,0,-1),(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0))$ $rArr$ J(A) =$((-1,1,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1))$
A ha uno zero in più di J(A)!! quindi credo che la forma canonica di Jordan massimizza gli zeri al di fuori della diagonale, qualche suggerimento per la dimostrazione? posso usare ...
Ragazzi sto studiando le combinazioni lineari e pensavo di averle capito fino a quando non ho raggiunto la parte sugli insiemi di generatori, che hanno un pò fatto crollare le mie convinzioni.
La combinazione lineare deve avvenire in uno spazio vettoriale su un campo, in quanto qui è concessa l'operazione di prodotto tra vettore e scalare.
In quanto la combinazione lineare è ogni espressione lineare del tipo $\hvec a1+ \hvec a2 + ... \hvec an$
Ora, l'insieme di generatori lavora su un insieme di vettori in uno ...
Dire se il seguente insieme $A$ è chiuso, limitato; trovarne frontiera, punti interni e derivato.
$A = {(x,y) \in RR^2 : sqrt((9-x^2-y^2) * (2x - x^2 - y^2 -1)) \in RR}$
Ho trovato che:
$A = {\barx \in RR^2 : |\barx| >= 3} \cup {(1,0)}$
${"Frontiera di A"} = \partialA = {\barx \in A : |\barx| = 3} \cup {(1,0)}$
${"Punti di accumulazione per A"} = {\barx \in RR^2 : |\barx| >= 3}$
$A$ non è limitato ed è chiuso (i.e. non è aperto).
Si può fare?
Salve amici
Ho un "dubbio" sulla definizione di sottospazio vettoriale. La definizione che ho sul quaderno di appunti è la seguente.
Definizione. Sia $(V,+,\cdot)$ un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale ($\mathbb{K}$ campo) e sia $W\subseteq V$. Si dice che $W$ è un sottospazio vettoriale di $V$ (su $\mathbb{K}$) se:
[*:1n243gsm] $W$ è sottogruppo (abeliano) di $(V,+)$ - quindi se:
• $W$ è chiuso rispetto a ...
Salve,
sono in difficoltà con lo sviluppo di un prodotto scalare di due prodotti vettoriali (lo chiamo così perchè non so se abbia un nome in particolare) che ho incontrato nella dimostrazione dell'energia cinetica per un corpo rigido:
descrivo brevemente la dimostrazione:
dato un sistema di punti $(P_i,m_i,v_i)$
$E_c=1/2 \sum_{i=1}^N m_i v_i^2 $
riferendoci ora ad un sistema con centro di massa $G$ fisso per brevità, si ha:
$v_i=\omega^^GP_i$
$E_c=1/2 \sum_{i=1}^N m_i (\omega^^GP_i)*(\omega^^GP_i)$
e finalmente il passaggio che non ...
Sia $M$ una varietà differenziabile di classe $C^{\infty}$ e dimensione
$n$, $p\in M$.
Sappiamo che lo spazio tangente in $p$ ad $M$ è
l'insieme $T_{p}M=\{X:\mathfrak{F}(p)\to\mathbb{R}|X\text{ è additiva, omogenea, stazionaria}\}$.
Mi spiegate perchè se scelgo $p\ne q$, allora $T_{p}M\cap T_{q}M=\emptyset$ ?
Grazie a tutti!
Ciao a tutti, mi sto approcciando allo studio di questo capitolo per il mio esame di analisi 2 (fondamenti). Però mi è sorto un dubbio atroce e non riesco a cavarmi fuori, sono fermo alla seconda pagina.
Il primo dubbio mi giunge parlando di parametrizzazione di curve e di sostegno. All'epoca di Geometria mi era stato insegnato che il sostegno è paragonabile al grafico della curva, ora però il mio libro dice che sono due cose completamente diverse. Nello specifico dice (parlando di curve da ...
Buon Pomeriggio, posto un problema che è diviso in tre parti, ... spero sia corretto...
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Dimostrare che il prodotto cartesiano $V \times W$ di due $\mathbb{K}$-spazi vettoriali $V$ e $W$ è
un $\mathbb{K}$-spazio vettoriale, con la seguente somma e molteplicazione scalare:
\begin{align*}{\bf 1)}\,\,\,(v_1,w_1) + (v_2,w_2) = (v_1 + v_2,w_1 + w_2);\quad {\bf 2)}\,\,\,\lambda(v,w) = (\lambda v,\lambda w)\end{align*}
Verifichiamo le ...
Salve ho bisogno di calcolare, a partire da due punti geografici dati, il punto medio tra di essi. Per fare questo non si può di certo utilizzare il calcolo del punto medio tra due punti in un piano cartesiano, vista la sfericità della Terra. Di conseguenza ho bisogno di sapere come si calcolano le coordinate del punto medio tra due punti su una sfera.
Potreste aiutarmi?
Grazie
Buona sera a tutti, vorrei verificare se ho capito grosso modo come funzionano gli esercizi dei sottospazi vettoriali e ,per verificare, posto un esercizio svolto.
Sia $P={x,y,z)|x^2-2yz=0}$ un sottoinieme di $RR^3$. Si stabilisca se sia un sottospazio vettoriale di $RR^3$, motivando la risposta. Come ho già detto nel post precedente un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto e, ovviamente, vi è incluso il vettore nullo. Nel ...
Ho questo esercizio.
Sia $\mathbb{V}$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.
Mostrare che
se $v_1,v_2,...,v_k$ sono linearmente indipendenti $=>$ $\forall \lambda_1,\lambda_2,....,lambda_k in K\\{0}$ $\lambda_1v_1,\lambda_2v_2,...,\lambda_kv_k$ sono linearmente indipendenti.
Procedo per assurdo.
Supponiamo che $EE \lambda_1,\lambda_2,....,lambda_k in K\\{0}$ tali che $\lambda_1v_1,\lambda_2v_2,...,\lambda_kv_k$ sono linearmente indipendenti.
Ciò è equivalente a dire che $EE a_1,a_2,..,a_k in K\\{0}$ tali che $\sum_(i=0)^k a_i(\lambda_iv_i)=\sum_(i=0)^k (a_i\lambda_i)v_i=0_V$ (1)
D'altro canto per ipotesi $v_1,v_2,...,v_k$ sono linearmente ...
Ciao, amici! Sto avendo qualche problema a capire un passaggio di una dimostrazione (da E. Sernesi, Geometria I, p. 178).
Sia \(B\in M_n(\mathbb{K})\text{\GL}_n(\mathbb{K})\) una matrice quadrata non invertibile, sia \(\mathbf{N}_m=\{\mathbf{x}\in\mathbb{K}^n:B^m\mathbf{x}=\mathbf{0}\}\), cioè il nucleo dell'operatore \(F_{B^m}:\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^n\) definito da \(B^m\) e sia \(\mathbf{W}^m=F_{B^m}(\mathbb{K}^n)\) l'immagine di \(F_{B^m}\), con \(\mathbf{W}_0=\mathbb{K}^n\) e ...
Qualcuno sa spiegarmi come mai II(IIvII)II = IIvII? Dove con IIvII intendo la norma del vettore v.
Buona sera a tutti, avrei alcune lacune nel risolvere esercizi sui sottospazi vettoriali benché dal punto di vista teorico sia molto semplice. Posto qualche esempio:
Avendo $M={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=0}$ dovrei dire se si tratta di un sottospazio vettoriale o meno. Poiché so dalla teoria che un insieme è sottospazio vettoriale se e solo se è chiuso rispetto alle operazioni di somma è prodotto; come verifico che quest'ultimo lo sia?
Nel nostro caso dovrei verificare procedendo come segue: ...
Salve a tutti, secondo il mio prof di Geometria e Algebra, l'insieme M delle matrici quadrate di ordine n ha la struttura di spazio vettoriale. Ora, per essere spazio vettoriale deve essere prima un campo, giusto? Un campo si definisce si esistono due operazioni interne all'insieme che siano commutative, associative, per cui esista il neutro e per cui esista l'opposto. Una di queste è la somma tra matrici e fin qui non ci piove. Ma l'altra qual è?? Il prodotto tra matrici righe per colonne non ...
Ciao a tutto il forum,
Sto studiando il determinante di una matrice quadrata, ho applicato la regola di Sarrus per trovare il determinante e vorrei sapere se l'esercizio è stato svolto in maniera corretta. L'esercizio è il seguente:
1 1 0
1-2 3 [MATRICE A]
2 3 3
Per prima cosa (ditemi se sbaglio), ho sovrapposto le prime due colonne, ottenendo così questa ipotetica matrice:
1 1 0 1 1
1-2 3 1-2
2 3 3 2 3
Poi, ecco il mio prossimo passaggio:
det.A = ...
ciao,
ho una domanda:
so che $Q\sube\mathcalP(X)$ sono tutti i sotto insiemi che si possono realizzare con gli elementi appartenenti a $X$.
Definizione: $\bigcupQ={x | EE Y\inQ : x\inY}$, dice che: $\bigcupQ$ è l'insieme degli $x\inX$ con i quali è possibile costruire tutti i sotto insieme di $X$ ?
$\bigcupQ$ puo' essere costituito da non tutti gli elementi di $X$
Poi, non dovrebbe essere (nella definizione) $Y\cupQ$ invece di ...
Considerando lo spazio $R^2-(0,0)$,il gruppo fondamentale è isomorfo a $\mathbb{Z}$. Il piano con "due buchi",se ho utlizzato bene il teorema di Van Kampen, dovrebbe essere isomorfo a $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$, che non è abeliano. Ma il laccio che passa "senza intrecci" attorno ai due buchi ,ovvero $ab$ , non dovrebbe essere simmetrica scambiando i due buchi? Cioè $ab$ non dovrebbe essere equivalente a $ba$? Però questo andrebbe in contraddizione con ...
Nelle dispense che sto studiando leggo:
PIANO IPERBOLICO. Si tratta dell'usuale \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) con la forma di matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) (non degenere); vi sono due sottospazi indipendenti di dimensione \(\displaystyle 1 \) di vettori isotropi (dunque ciascuno ortogonale di se stesso, ma non ortogonali tra loro): si tratta dei vettori che soddisfano \(\displaystyle XY = 0 \); dato un vettore \(\displaystyle ...
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