Intersezione di due spazi tangenti

[dark121it]

Sia $M$ una varietà differenziabile di classe $C^{\infty}$ e dimensione
$n$, $p\in M$.

Sappiamo che lo spazio tangente in $p$ ad $M$ è
l'insieme $T_{p}M=\{X:\mathfrak{F}(p)\to\mathbb{R}|X\text{ è additiva, omogenea, stazionaria}\}$.

Mi spiegate perchè se scelgo $p\ne q$, allora $T_{p}M\cap T_{q}M=\emptyset$ ?

Grazie a tutti!

[dark121it]

Va bhè, vi faccio vedere como ho provato ad impostarlo (ma comunque
non ho concluso niente...).

Sia $M$ una varietà differenziabile di classe $C^{\infty}$ e dimensione
$n$. Sia $p\in M$.

Per definizione sappiamo che $T_{p}M=\{X:\mathfrak{F}(p)\to\mathbb{R}|X\text{ è additiva omogenea e stazionaria}\}$,
dove indico con

$\mathfrak{F}(p)=\{f|\exists A\in\mathfrak{A}(p)\text { tale che } f:A\to\mathbb{R},f\text{ è differenziabile di classe }C^{\infty}\}$

$\mathfrak{A}(p)=$ insieme degli intorni aperti di $p$

Sia $q\in M$ , $q\ne p$. Vogliamo provare che $T_{p}M\cap T_{q}M=\emptyset$.

Per assurdo, supponiamo che esista $X\in T_{p}M\cap T_{q}M$.

Consideriamo due carte di $M$, $(U,\varphi)$, $(V,\psi)$ tali che
$p\in U$, $q\in V$, $U\cap V=\emptyset$.

E ora? Non so come usare il fatto che $X\in T_{p}M\cap T_{q}M$.

[ciampax]

Provato a ragionare sul fatto che un vettore tangente è anche tangente ad una curva in un punto?

EDIT: anzi, forse con il differenziale di una trasformanzione $f:M\rightarrow M$ tale che $f(p)=q$ fai prima.

[dark121it]

Sì, in realtà proprio ieri un mio amico di facoltà mi ha dato la risposta (pensavo di inserirla uno di questi giorni ma già che ci sono.. ), ed è anche.... abbastanza banale!

Supponiamo che $X\in T_{p}M\cap T_{q}M$ con $p\ne q$.

Allora $X:\mathfrak{F}(p)\to\mathbb{R}$ e anche $X:\mathfrak{F}(q)\to\mathbb{R}$
da cui $\mathfrak{F}(p)=\mathfrak{F}(q)$ che è assurdo per l'ipotesi
che $p\ne q$.