Insieme M delle matrici quadrate: spazio vettoriale?
Salve a tutti, secondo il mio prof di Geometria e Algebra, l'insieme M delle matrici quadrate di ordine n ha la struttura di spazio vettoriale. Ora, per essere spazio vettoriale deve essere prima un campo, giusto? Un campo si definisce si esistono due operazioni interne all'insieme che siano commutative, associative, per cui esista il neutro e per cui esista l'opposto. Una di queste è la somma tra matrici e fin qui non ci piove. Ma l'altra qual è?? Il prodotto tra matrici righe per colonne non è commutativo quindi lo escluderei. Aiutatemi con questo dubbio 
Risposte
"Kuiper92":
Salve a tutti, secondo il mio prof di Geometria e Algebra, l'insieme M delle matrici quadrate di ordine n ha la struttura di spazio vettoriale.
Non solo secondo lui... Diciamo che è un'opinione molto comune.
"Kuiper92":
Ora, per essere spazio vettoriale deve essere prima un campo, giusto?
No, non è giusto.
Ciò che deve essere un campo è la struttura dove vai a prendere gli scalari; non certo quella dove prendi i vettori dello spazio.
Da quello che ho capito in questi giorni:
L'insieme delle matrici quadrate è uno spazio vettoriale perchè è possibile aggiungerci due operazioni:
la somma tra due matrici quadrate che è ancora una matrice quadrata
il prodotto ESTERNO tra una matrice quadrata e uno scalare che è ancora una matrice quadrata..
Per cui il prodotto matriciale non c'entra.. quello che conta per definizione di spazio vettoriale è il prodotto esterno
Adesso queste due operazioni (Strutture algebriche) danno come risultato ancora un elemento dell'insieme delle matrici quadrate e rispettano tutti gli assiomi di spazio vettoriale
Quotando gugo82 lo spazio vettoriale non deve essere assolutamente un campo! Ma è l'operazione di addizione che deve soddisfare le condizioni di gruppo abeliano, cioè la somma di matrici nell'insieme delle matrici quadrate deve essere commutativa, associativa, deve esistere l'elemento neutro, e par l'addizione tra matrici non ci sono probelmi, per quanto riguarda il prodotto esterno anche esso rispetta gli ultimi 4 assiomi di spazio vettoriale:
Distribuitività del prodotto esterno rispetto all'addizione interna
Distributività del prodotto esterno rispetto all'addizione esterna
Associatività degli elementi esterni (Cioè gli scalari di R)
E infine il fatto che 1 moltiplicato per un elemento dello spazio vettoriale ( nel nostro caso una qualsiasi matrice quadrata moltiplicata per la matrice $I_n$ ,cioè quella che ha tutti gli oggetti nulli tranne quelli della diagonale che sono tutti uguali a 1,) è proprio uguale a quell'elemento dello spazio vettoriale ( nel nostro caso è uguale alla matrice data)
L'insieme delle matrici quadrate è uno spazio vettoriale perchè è possibile aggiungerci due operazioni:
la somma tra due matrici quadrate che è ancora una matrice quadrata
il prodotto ESTERNO tra una matrice quadrata e uno scalare che è ancora una matrice quadrata..
Per cui il prodotto matriciale non c'entra.. quello che conta per definizione di spazio vettoriale è il prodotto esterno
Adesso queste due operazioni (Strutture algebriche) danno come risultato ancora un elemento dell'insieme delle matrici quadrate e rispettano tutti gli assiomi di spazio vettoriale
Quotando gugo82 lo spazio vettoriale non deve essere assolutamente un campo! Ma è l'operazione di addizione che deve soddisfare le condizioni di gruppo abeliano, cioè la somma di matrici nell'insieme delle matrici quadrate deve essere commutativa, associativa, deve esistere l'elemento neutro, e par l'addizione tra matrici non ci sono probelmi, per quanto riguarda il prodotto esterno anche esso rispetta gli ultimi 4 assiomi di spazio vettoriale:
Distribuitività del prodotto esterno rispetto all'addizione interna
Distributività del prodotto esterno rispetto all'addizione esterna
Associatività degli elementi esterni (Cioè gli scalari di R)
E infine il fatto che 1 moltiplicato per un elemento dello spazio vettoriale ( nel nostro caso una qualsiasi matrice quadrata moltiplicata per la matrice $I_n$ ,cioè quella che ha tutti gli oggetti nulli tranne quelli della diagonale che sono tutti uguali a 1,) è proprio uguale a quell'elemento dello spazio vettoriale ( nel nostro caso è uguale alla matrice data)
permettetemi... aggiungo due note
nota 1 : il prodotto matriciale , che denoto $*$,definito su $M_n(\mathbb{K})$ è un operazione interna.
Infatti il prodotto di matrici quadrate è ancora una matrice quadrata.
si verifica facilmente che la struttura $(M_n(\mathbb{K}),+,*)$ è un anello, generalmente non commutativo.
nota 2:
Si dimostra che il sottoanello formato dalle matrici diagonali di ordine $n$, è commutativo.
nota 1 : il prodotto matriciale , che denoto $*$,definito su $M_n(\mathbb{K})$ è un operazione interna.
Infatti il prodotto di matrici quadrate è ancora una matrice quadrata.
si verifica facilmente che la struttura $(M_n(\mathbb{K}),+,*)$ è un anello, generalmente non commutativo.
nota 2:
Si dimostra che il sottoanello formato dalle matrici diagonali di ordine $n$, è commutativo.
Spazio vettoriale
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da:
un campo
un insieme i cui elementi sono detti vettori
due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà.[1]
Penso sia stata wikipedia a fuorviarmi. Il campo al primo punto dell'elenco dunque è R da cui prendiamo gli scalari per definire la moltiplicazione per scalare e dunque lo spazio vettoriale M. Giusto?
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da:
un campo
un insieme i cui elementi sono detti vettori
due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà.[1]
Penso sia stata wikipedia a fuorviarmi. Il campo al primo punto dell'elenco dunque è R da cui prendiamo gli scalari per definire la moltiplicazione per scalare e dunque lo spazio vettoriale M. Giusto?
Da dispense : http://www.dm.uniba.it/~lotta/geo1_2009_lotta.pdf
Per avere uno spazio vettoriale sostanzialmente ti servono tre cose.
1) un gruppo abeliano.
2) un campo
3) un'operazione esterna che "lega" gli elementi del gruppo con quello del campo, detto molto alla buona. Per definizioni precise guarda la pagina.
Per avere uno spazio vettoriale sostanzialmente ti servono tre cose.
1) un gruppo abeliano.
2) un campo
3) un'operazione esterna che "lega" gli elementi del gruppo con quello del campo, detto molto alla buona. Per definizioni precise guarda la pagina.
"Kuiper92":
Spazio vettoriale
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, uno spazio vettoriale, anche detto spazio lineare, è una struttura algebrica composta da:
un campo
un insieme i cui elementi sono detti vettori
due operazioni binarie, dette somma e moltiplicazione per scalare, caratterizzate da determinate proprietà.[1]
Penso sia stata wikipedia a fuorviarmi.
Se proprio non puoi fare a meno di leggere le definizioni su WIKI, almeno usa WIKI inglese che è più seria... Ma, comunque, queste cose andrebbero sempre lette sui libri di testo consigliati dai docenti (che mediamente sono di gran lunga superiori a qualsiasi WIKI).
"Kuiper92":
Il campo al primo punto dell'elenco dunque è R da cui prendiamo gli scalari per definire la moltiplicazione per scalare e dunque lo spazio vettoriale M. Giusto?
Esatto.
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