Unione della famiglia di insiemi $\bigcupQ={....}$
ciao,
ho una domanda:
so che $Q\sube\mathcalP(X)$ sono tutti i sotto insiemi che si possono realizzare con gli elementi appartenenti a $X$.
Definizione: $\bigcupQ={x | EE Y\inQ : x\inY}$, dice che: $\bigcupQ$ è l'insieme degli $x\inX$ con i quali è possibile costruire tutti i sotto insieme di $X$ ?
$\bigcupQ$ puo' essere costituito da non tutti gli elementi di $X$
Poi, non dovrebbe essere (nella definizione) $Y\cupQ$ invece di $Y\inQ$?
Invece nel caso di:
Definizione: $\bigcapQ={x\inX | AAY\inQ : x\inY}$, dice che: $\bigcapQ$ è l'insieme degli $x\inX$ con i quali è possibile costruire almeno un sotto insieme di $X$ ?
ho una domanda:
so che $Q\sube\mathcalP(X)$ sono tutti i sotto insiemi che si possono realizzare con gli elementi appartenenti a $X$.
Definizione: $\bigcupQ={x | EE Y\inQ : x\inY}$, dice che: $\bigcupQ$ è l'insieme degli $x\inX$ con i quali è possibile costruire tutti i sotto insieme di $X$ ?
$\bigcupQ$ puo' essere costituito da non tutti gli elementi di $X$
Poi, non dovrebbe essere (nella definizione) $Y\cupQ$ invece di $Y\inQ$?
Invece nel caso di:
Definizione: $\bigcapQ={x\inX | AAY\inQ : x\inY}$, dice che: $\bigcapQ$ è l'insieme degli $x\inX$ con i quali è possibile costruire almeno un sotto insieme di $X$ ?
Risposte
C'è un po' di confusione in quello che scrivi. Tanto per cominciare $\mathcal{P}(X)$ è l'insieme delle parti di $X$, cioè l'insieme di tutti i sottoinsiemi di $X$, cioè l'insieme di tutti gli insiemi che puoi formare con gli elementi di $X$.
Scrivere $Q \subseteq \mathcal{P}(X)$ significa prendere un sottoinsieme dell'insieme delle parti, cioè un insieme che contiene dei (magari tutti, magari nessuno) sottoinsiemi di $X$, cioè degli elementi di $\mathcal{P}(X)$.
Le altre definizioni, per come sono scritte, non sono molto chiare e non si capisce che cosa stai chiedendo. Puoi citare la fonte da cui le hai prese?
Per come le hai scritte sembra che $\bigcup Q$ sia l'insieme dato dall'unione di tutti i sottoinsiemi di $X$ che sono elementi di $Q$. Scritto in modo un po' più formale sembrerebbe che per te $\bigcup Q = \bigcup_{Y \in Q} Y$. E' questo che intendi?
Scrivere $Q \subseteq \mathcal{P}(X)$ significa prendere un sottoinsieme dell'insieme delle parti, cioè un insieme che contiene dei (magari tutti, magari nessuno) sottoinsiemi di $X$, cioè degli elementi di $\mathcal{P}(X)$.
Le altre definizioni, per come sono scritte, non sono molto chiare e non si capisce che cosa stai chiedendo. Puoi citare la fonte da cui le hai prese?
Per come le hai scritte sembra che $\bigcup Q$ sia l'insieme dato dall'unione di tutti i sottoinsiemi di $X$ che sono elementi di $Q$. Scritto in modo un po' più formale sembrerebbe che per te $\bigcup Q = \bigcup_{Y \in Q} Y$. E' questo che intendi?
Ciao, grazie di avermi risposto, ora cerco di spiegarmi meglio:
la fonte sono degli appunti di Geometria 1 di un amico (corso di laurea in matematica). Io studio informatica, uso il libro: http://it.scribd.com/doc/94715074/Abate-Geometria che su alcuni punti non ho trovato molto "friendly" q ho cercato dettagli altrove.
foto appunti: http://imageshack.us/a/img849/3351/appgeom1.jpg
Ecco, io volevo dire proprio questo!
Nella defiizione: $\bigcupQ={x | EE Y\inQ : x\inY}$ non capisco perchè $Y\inQ$ è una sintassi corretta. $Y$ è un insieme, non si dovrebbe usare il simbolo $\sube$? Poi: ${x | EE Y\inQ : x\inY}$ significa che $\bigcupQ$ è l'insieme di tutti gli elementi $x$ che si trovano in degli sotto insiemi di $Q$ che a sua volta è un sotto insieme di $X$? Ma in questo modo non si dice che $\bigcupQ=X$?
Questo è cio' che non so
la fonte sono degli appunti di Geometria 1 di un amico (corso di laurea in matematica). Io studio informatica, uso il libro: http://it.scribd.com/doc/94715074/Abate-Geometria che su alcuni punti non ho trovato molto "friendly" q ho cercato dettagli altrove.
foto appunti: http://imageshack.us/a/img849/3351/appgeom1.jpg
"Pappappero":
C'è un po' di confusione in quello che scrivi. Tanto per cominciare $\mathcal{P}(X)$ è l'insieme delle parti di $X$, cioè l'insieme di tutti i sottoinsiemi di $X$, cioè l'insieme di tutti gli insiemi che puoi formare con gli elementi di $X$.
Ecco, io volevo dire proprio questo!
"Pappappero":
Scrivere $Q \subseteq \mathcal{P}(X)$ significa prendere un sottoinsieme dell'insieme delle parti, cioè un insieme che contiene dei (magari tutti, magari nessuno) sottoinsiemi di $X$, cioè degli elementi di $\mathcal{P}(X)$.
Nella defiizione: $\bigcupQ={x | EE Y\inQ : x\inY}$ non capisco perchè $Y\inQ$ è una sintassi corretta. $Y$ è un insieme, non si dovrebbe usare il simbolo $\sube$? Poi: ${x | EE Y\inQ : x\inY}$ significa che $\bigcupQ$ è l'insieme di tutti gli elementi $x$ che si trovano in degli sotto insiemi di $Q$ che a sua volta è un sotto insieme di $X$? Ma in questo modo non si dice che $\bigcupQ=X$?
Questo è cio' che non so
"BoG":
Nella defiizione: $\bigcupQ={x | EE Y\inQ : x\inY}$ non capisco perchè $Y\inQ$ è una sintassi corretta. $Y$ è un insieme, non si dovrebbe usare il simbolo $\sube$? Poi: ${x | EE Y\inQ : x\inY}$ significa che $\bigcupQ$ è l'insieme di tutti gli elementi $x$ che si trovano in degli sotto insiemi di $Q$ che a sua volta è un sotto insieme di $X$? Ma in questo modo non si dice che $\bigcupQ=X$?
Questo è cio' che non so
Allora...la cosa fondamentale da capire è se $Q \subseteq \mathcal{P}(X)$ allora $Q$ è un insieme i cui ELEMENTI sono insiemi e in particolare sottoinsiemi di $X$. Quindi, se ad esempio $Y$ è un sottoinsieme di $X$ che sta in $Q$ (quindi $Y$ è un elemento di $Q$) la scrittura $Y \in Q$ ha perfettamente senso.
Esempio:
Prendiamo $X = \{ 1,2,3\}$.
Otteniamo $\mathcal{P}(X) = \{ \emptyset , \{1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} , \{ 1,2\} , \{1,3\} , \{2,3\} , \{ 1,2,3\}$.
Puoi prendere $Q = \{ \emptyset , \{ 1\} , \{1,2\} \{ 1,2,3\} \}$. In questo caso $\{1\}$ è un insieme (sottoinsieme di $X$, elemento di $Q$) e vale $\{ 1\} \in Q$ (attento, non $1 \in Q$ ma $\{ 1\} \in Q$: $\{ 1\}$ indica il sottoinsieme di $X$ con un solo elemento, $1$ appunto).
Questo non toglie che per quanto mi riguarda la scrittura $\bigcup Q$ non ha assolutamente senso. $\bigcup$ è un simbolo che serve quando si fa l'unione di tante cose, un po' come il simbolo di sommatoria viene usato per indicare una somma di tante cose. Proprio come con la sommatoria in genere (a meno che non sia ovvio, ma formalmente si fa sempre) si indica come pedice l'insieme su cui si fa l'unione e accando a $\bigcup$ gli insiemi su cui si fa l'unione.
Da quello che scrivi tutto fa pensare che la scrittura $\bigcup Q$ sia un modo barbaro e poco chiaro per scrivere $\bigcup_{Y \in Q} Y$, cioè l'unione di tutti i sottoinsiemi di $X$ che sono elementi di $Q$. In particolare questa unione viene un sottoinsieme di $X$, quindi un elemento di $\mathcal{P}(X)$.
L'articolo di wikipedia sull'insieme delle parti potrebbe chiarirti le idee.
"Pappappero":
Quindi, se ad esempio $Y$ è un sottoinsieme di $X$ che sta in $Q$ (quindi $Y$ è un elemento di $Q$) la scrittura $Y \in Q$ ha perfettamente senso.
Nel caso quotato qua sopra, posso dire che $Y$ è un elemento di $X$ o devo per forza dire che è un sottoinsieme?
"Pappappero":
Esempio:
Prendiamo $X = \{ 1,2,3\}$.
Otteniamo $\mathcal{P}(X) = \{ \emptyset , \{1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} , \{ 1,2\} , \{1,3\} , \{2,3\} , \{ 1,2,3\}$.
Puoi prendere $Q = \{ \emptyset , \{ 1\} , \{1,2\} \{ 1,2,3\} \}$. In questo caso $\{1\}$ è un insieme (sottoinsieme di $X$, elemento di $Q$) e vale $\{ 1\} \in Q$ (attento, non $1 \in Q$ ma $\{ 1\} \in Q$: $\{ 1\}$ indica il sottoinsieme di $X$ con un solo elemento, $1$ appunto).
Perchè non posso ricondurre un insieme ${x}$ ad un elemento $x$ ? Perchè dentro all'insieme c'è anche $\emptyset$?
Quindi quando dico $\{ 1\} \in Q$ dico $\ 1, \emptyset \in Q$?
Devi imparare a fare una distinzione chiara tra gli elementi di un insieme e i suoi sottoinsiemi. Un insieme ha i suoi elementi, se ho un insieme $Y$ i cui elementi sono tutti elementi di $X$ allora $Y$ è un sottoinsieme di $X$.
Tutti gli elementi di $\emptyset$ sono elementi di $X$? Certo, non ha elementi, quindi un qualunque suo elemento può avere tutte le proprietà che vuoi: quindi $\emptyset$ è un sottoinsieme di $X$; perciò $\emptyset$ è un elemento di $\mathcal{P}(X)$.
I sottoinsiemi di $X$ che hanno un solo elemento (quelli che si chiamano singoletti) sono sottoinsiemi, non elementi di $X$. (che poi ad ogni elemento corrisponda un singoletto e viceversa è un altro discorso) Bisogna fare una distinzione chiara. I sottoinsiemi di $X$ sono semplicemente insiemi i cui elementi sono elementi di $X$. Un insieme di sottoinsiemi di $X$ è un insieme i cui elementi sono insiemi, e questi insiemi sono per l'appunto sottoinsiemi di $X$.
Come concetto può sembrare tutto un po' la stessa cosa, ma ragionarci un po' per capire la differenza.
Ripeto: la pagina di wikipedia sull'insieme delle parti potrebbe essere illuminante. qui e qui.
Tutti gli elementi di $\emptyset$ sono elementi di $X$? Certo, non ha elementi, quindi un qualunque suo elemento può avere tutte le proprietà che vuoi: quindi $\emptyset$ è un sottoinsieme di $X$; perciò $\emptyset$ è un elemento di $\mathcal{P}(X)$.
I sottoinsiemi di $X$ che hanno un solo elemento (quelli che si chiamano singoletti) sono sottoinsiemi, non elementi di $X$. (che poi ad ogni elemento corrisponda un singoletto e viceversa è un altro discorso) Bisogna fare una distinzione chiara. I sottoinsiemi di $X$ sono semplicemente insiemi i cui elementi sono elementi di $X$. Un insieme di sottoinsiemi di $X$ è un insieme i cui elementi sono insiemi, e questi insiemi sono per l'appunto sottoinsiemi di $X$.
Come concetto può sembrare tutto un po' la stessa cosa, ma ragionarci un po' per capire la differenza.
Ripeto: la pagina di wikipedia sull'insieme delle parti potrebbe essere illuminante. qui e qui.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo