Curve Parametriche
Ciao a tutti, mi sto approcciando allo studio di questo capitolo per il mio esame di analisi 2 (fondamenti). Però mi è sorto un dubbio atroce e non riesco a cavarmi fuori, sono fermo alla seconda pagina.
Il primo dubbio mi giunge parlando di parametrizzazione di curve e di sostegno. All'epoca di Geometria mi era stato insegnato che il sostegno è paragonabile al grafico della curva, ora però il mio libro dice che sono due cose completamente diverse. Nello specifico dice (parlando di curve da $ r: [a,b] -> \mathbb{R}^3$
E' importante distinguere il sostegno dal grafico. Il sostegno è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^3$ mentre il grafico è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$, non rappresentabile graficamente.
E dice di fare riferimento per capire alla curva nel disegno qui sopra. Il problema è che dice:
La linea sottile corrisponde al grafico della funzione da $\mathbb{R}$ ad $\mathbb{R}^2$, $(x,y) = (cost, sint)$, tale funzione può essere vista come parametrizzazione della curva $gamma$ (il cui sostegno è disegnato col tratto più spesso).
Non mi è chiaro come possa la funzione circonferenza essere considerata in $\mathbb{R}$, e la funzione elicoidale considerata in $\mathbb{R}^2$
Leggendo la prima cosa che mi è venuta in mente è che la funzione circonferenza è $\mathbb{R} -> \mathbb{R}^2$ e l'elica da $\mathbb{R}^2 -> \mathbb{R}^3$.
Quello che c'è scritto però mi spiazza, e resto completamente fuori fase con il resto del capitolo. Mi auguro di sbagliarmi su qualcosa di stupido perchè altrimenti vuol dire che non ho capito veramente nulla e devo farmi un mazzo come una capanna per tornare in linea con gli argomenti.
In secondo luogo, qualche consiglio su qualche pdf che spiegano bene la parametrizzazione e il sostegno? (dati per scontati nel mio libro).
Il primo dubbio mi giunge parlando di parametrizzazione di curve e di sostegno. All'epoca di Geometria mi era stato insegnato che il sostegno è paragonabile al grafico della curva, ora però il mio libro dice che sono due cose completamente diverse. Nello specifico dice (parlando di curve da $ r: [a,b] -> \mathbb{R}^3$
E' importante distinguere il sostegno dal grafico. Il sostegno è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^3$ mentre il grafico è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^4$, non rappresentabile graficamente.
E dice di fare riferimento per capire alla curva nel disegno qui sopra. Il problema è che dice:
La linea sottile corrisponde al grafico della funzione da $\mathbb{R}$ ad $\mathbb{R}^2$, $(x,y) = (cost, sint)$, tale funzione può essere vista come parametrizzazione della curva $gamma$ (il cui sostegno è disegnato col tratto più spesso).
Non mi è chiaro come possa la funzione circonferenza essere considerata in $\mathbb{R}$, e la funzione elicoidale considerata in $\mathbb{R}^2$
Leggendo la prima cosa che mi è venuta in mente è che la funzione circonferenza è $\mathbb{R} -> \mathbb{R}^2$ e l'elica da $\mathbb{R}^2 -> \mathbb{R}^3$.
Quello che c'è scritto però mi spiazza, e resto completamente fuori fase con il resto del capitolo. Mi auguro di sbagliarmi su qualcosa di stupido perchè altrimenti vuol dire che non ho capito veramente nulla e devo farmi un mazzo come una capanna per tornare in linea con gli argomenti.
In secondo luogo, qualche consiglio su qualche pdf che spiegano bene la parametrizzazione e il sostegno? (dati per scontati nel mio libro).
Risposte
E' una questione sottile ma che si basa tutta sulle definizioni. Per grafico di una funzione $f:A\rightarrow B$ si intende, in generale, l'insieme delle coppie $(x,f(x))$ con $x\in A$. Ora, nel caso di una curva parametrizzata si ha
$\Gamma(r)=\{(t,r(t)),\ |\ t\in [a,b]\}$
e come vedi, tale insieme (se $r$ è una curva in $RR^2$) risulta qualcosa in $RR^3$.
Quello su cui fai confusione, secondo me, è che pensi a "grafico" come "disegno", ed è lì l'errore: in realtà "disegno"="sostegno". Spero di essere stato chiaro.
$\Gamma(r)=\{(t,r(t)),\ |\ t\in [a,b]\}$
e come vedi, tale insieme (se $r$ è una curva in $RR^2$) risulta qualcosa in $RR^3$.
Quello su cui fai confusione, secondo me, è che pensi a "grafico" come "disegno", ed è lì l'errore: in realtà "disegno"="sostegno". Spero di essere stato chiaro.
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