Sottospazio generato da una parte

[Plepp]

Salve ragazzi

Sto cercando di dimostrare quanto segue.

Proposizione. Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $\mathbb{K}$ e sia $W$ un suo sottospazio. Allora $ =W$.

Con $$ denoto il sottospazio generato da $W$, ovvero l'intersezione di tutti i sottospazi di $V$ contenenti $W$. In simboli, indicando con $(U_i)_{i\in I}$ la famiglia dei sottospazi di $V$ che contengono $W$,
\[\langle W\rangle =\bigcap_{i\in I} U_i\]
Ovviamente, $W\subseteq $.

Dimostrazione. Mi sembra troppo banale, quindi può darsi che ci sia qualcosa che non va Insomma, se $W$ è sottospazio di $V$, allora $W\in (U_i)_{i\in I}$, quindi $\exists i_0\in I$ tale che $W=U_{i_0}$. Dal momento che, per definizione, si ha
\[W=U_{i_0}\subseteq U_i\qquad\qquad \forall i\in I\]
allora
\[\langle W\rangle = \bigcap_{i\in I} U_i \subseteq U_{i_0}=W\]
Avendo provato che $\subseteq W$, ho che $ =W$.

Il "discorso" dell'$i_0$ è quasi un "di più": questione di gusti

Sbaglio qualcosa?

[perplesso1]

è giusto però quanto la fai lunga xD Quando hai detto $W \in (U_i)_{i \in I} => \subseteq W => = W$ hai finito, punto, basta, taglia corto.

[Plepp]

Sì, lo so che la faccio lunga però è figo così, dai Grazie