Lineare indipendenza. esercizio
Ho questo esercizio.
Sia $\mathbb{V}$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.
Mostrare che
se $v_1,v_2,...,v_k$ sono linearmente indipendenti $=>$ $\forall \lambda_1,\lambda_2,....,lambda_k in K\\{0}$ $\lambda_1v_1,\lambda_2v_2,...,\lambda_kv_k$ sono linearmente indipendenti.
Procedo per assurdo.
Supponiamo che $EE \lambda_1,\lambda_2,....,lambda_k in K\\{0}$ tali che $\lambda_1v_1,\lambda_2v_2,...,\lambda_kv_k$ sono linearmente indipendenti.
Ciò è equivalente a dire che $EE a_1,a_2,..,a_k in K\\{0}$ tali che $\sum_(i=0)^k a_i(\lambda_iv_i)=\sum_(i=0)^k (a_i\lambda_i)v_i=0_V$ (1)
D'altro canto per ipotesi $v_1,v_2,...,v_k$ sono linearmente indipendenti. Cioé
$AA e_1,e_2,..,e_k in K : \sum_(i=0)^ke_Iv_i=0_V => AA i in {1,...,k},e_i=0_(\mathbb{K})$ (2)
Da 1) e 2)
si ha che $\sum_(i=0)^ke_Iv_i = \sum_(i=0)^k (a_i\lambda_i)v_i$(3), ma essendo i vettori $v_i$ linearmente indipendenti
da (3) segue che $AA i in {1,...,k} : e_i=0_(\mathbb{K})=a_i\lambda_i$. Ciò costituisce la contraddizione cercata.
Che ne dite ragazzi, può andare? Grazie mille
Sia $\mathbb{V}$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$.
Mostrare che
se $v_1,v_2,...,v_k$ sono linearmente indipendenti $=>$ $\forall \lambda_1,\lambda_2,....,lambda_k in K\\{0}$ $\lambda_1v_1,\lambda_2v_2,...,\lambda_kv_k$ sono linearmente indipendenti.
Procedo per assurdo.
Supponiamo che $EE \lambda_1,\lambda_2,....,lambda_k in K\\{0}$ tali che $\lambda_1v_1,\lambda_2v_2,...,\lambda_kv_k$ sono linearmente indipendenti.
Ciò è equivalente a dire che $EE a_1,a_2,..,a_k in K\\{0}$ tali che $\sum_(i=0)^k a_i(\lambda_iv_i)=\sum_(i=0)^k (a_i\lambda_i)v_i=0_V$ (1)
D'altro canto per ipotesi $v_1,v_2,...,v_k$ sono linearmente indipendenti. Cioé
$AA e_1,e_2,..,e_k in K : \sum_(i=0)^ke_Iv_i=0_V => AA i in {1,...,k},e_i=0_(\mathbb{K})$ (2)
Da 1) e 2)
si ha che $\sum_(i=0)^ke_Iv_i = \sum_(i=0)^k (a_i\lambda_i)v_i$(3), ma essendo i vettori $v_i$ linearmente indipendenti
da (3) segue che $AA i in {1,...,k} : e_i=0_(\mathbb{K})=a_i\lambda_i$. Ciò costituisce la contraddizione cercata.
Che ne dite ragazzi, può andare? Grazie mille
Risposte
E' giusto, ma l'hai fatta - non dico lunga - lunghissima.
Se \(\displaystyle \mathcal{V}= \{v_{1}, \dots , v_{n} \} \) è un insieme di vettori linearmente indipendenti allora \(\displaystyle \mathcal{V}=\{\lambda_{1} v_{1}, \dots , \lambda_{n} v_{n} \} \) è banalmente un insieme di vettori linearmente indipendenti, presi comunque coefficienti \(\displaystyle \lambda_{1}, \dots , \lambda_{n} \) nel campo. Infatti \[\displaystyle \alpha_{1}(\lambda_{1} v_{1}) + \dots + \alpha_{n}(\lambda_{n} v_{n}) = 0 \] sse \[\displaystyle (\alpha_{1}\lambda_{1}) v_{1} + \dots + (\alpha_{n}\lambda_{n}) v_{n}=0 \] ma \(\displaystyle \alpha_{i} \lambda_{i} \in \mathbb{K} \ \ \forall \ i \in \{1, \dots , n \} \) (\(\displaystyle \mathbb{K} \) è campo e gli \(\displaystyle \alpha_{i} \) stanno in \(\displaystyle \mathbb{K} \)), e questo permette di concludere che \(\displaystyle \alpha_{i} \lambda_{i}=0 \ \ \forall \ i \in \{1, \dots , n \} \), sfruttando l'indipendenza dei \(\displaystyle v_{i} \).
Se \(\displaystyle \mathcal{V}= \{v_{1}, \dots , v_{n} \} \) è un insieme di vettori linearmente indipendenti allora \(\displaystyle \mathcal{V}=\{\lambda_{1} v_{1}, \dots , \lambda_{n} v_{n} \} \) è banalmente un insieme di vettori linearmente indipendenti, presi comunque coefficienti \(\displaystyle \lambda_{1}, \dots , \lambda_{n} \) nel campo. Infatti \[\displaystyle \alpha_{1}(\lambda_{1} v_{1}) + \dots + \alpha_{n}(\lambda_{n} v_{n}) = 0 \] sse \[\displaystyle (\alpha_{1}\lambda_{1}) v_{1} + \dots + (\alpha_{n}\lambda_{n}) v_{n}=0 \] ma \(\displaystyle \alpha_{i} \lambda_{i} \in \mathbb{K} \ \ \forall \ i \in \{1, \dots , n \} \) (\(\displaystyle \mathbb{K} \) è campo e gli \(\displaystyle \alpha_{i} \) stanno in \(\displaystyle \mathbb{K} \)), e questo permette di concludere che \(\displaystyle \alpha_{i} \lambda_{i}=0 \ \ \forall \ i \in \{1, \dots , n \} \), sfruttando l'indipendenza dei \(\displaystyle v_{i} \).
della serie, come complicarsi l vita hihihihi...
hai ragione, sfruttando la lineare indipendenza di $v_1,v_2,..,v_n$ è più semplice
hai ragione, sfruttando la lineare indipendenza di $v_1,v_2,..,v_n$ è più semplice
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