Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao
non riesco a svolgere questo esercizio potreste aiutarmi spiegandomi i vai passaggi??? grazie
Nello spazio euclideo si considerino
il piano π : z = 2
e le rette
r:(x,y,z)=(0,1,3,)+λ(1,1,0)
s:(x,y,z)=(0,-1,4)+μ(2,1,0)
Determinare
1)le equazioni parametriche delle rette r0 ed s0, proiezioni ortogonali di r ed s su π;
2)l’equazione parametrica della retta t, ortogonale a π e passante per P;
3)la distanza tra le rette r ed s.
Grazie Mile
Let \(X\) and \(Y\) be topological spaces; let \(q:X\rightarrow Y\) be a surjective map. The map is \(q\) is said to be a quotient map provided a subset \(U\) of \(Y\) is open in \(Y\) if and only if \(q^{-1}(U)\) is open in \(X\).
Dato \(X\) consideriamo una sua partizione \(X^{*}\) composta di insiemi disgiunti e \(s:X\rightarrow X^{*}\) l'applicazione che associa ad un punto \(x\in X\) l'insieme della partizione che lo contiene. L'applicazione è suriettiva. ...
salve ho un piccolo dubbio.
IN\(\displaystyle V_4(R) \)
ho \(\displaystyle A= Af{(0 0 0 1),(2 1 1 1),(0 0 1 2),(0 1 0 2)} \) e \(\displaystyle B=Af{(3 0 2 0),(2 1 1 1)} \)
Qualcuno mi potrebbe spiegare la differenza tra \(\displaystyle Af(AUB) \) e \(\displaystyle AUB \)?
Per quanto ne so \(\displaystyle Af(AUB)= Af{(0 0 0 1),(2 1 1 1),(0 0 1 2),(0 1 0 2),(3 0 2 0),(2 1 1 1)}\) e facendo le dovute semplificazioni mi resta solo A, ma AUB da solo non saprei come esprimerlo
Ciao!
Se considero uno spazio vettoriale $V$ sul campo $\mathbb{K} $ con base $v_1, \cdots, v_n$ e detta $\phi_1, \cdots, \phi_n$ la base duale di $v_1, \cdots, v_n$ allora so che la forma bilineare $V^{ \star} \times V \rightarrow \mathbb{K}$ induce, per proprietà universale del prodotto tensoriale, $V^{ \star} \otimes V \rightarrow \mathbb{K} $ quindi il funzionale canonico su $End(V)$ si scrive
$sum a_{ij} \phi_i \otimes v_j \rightarrow \suma_{ij} \phi_i(v_j)= \sum a_{ii}$
che è quindi la traccia di una matrice.
Se invece volessi trovare i tensori ...
salve l'esercizio sembra molto semplice ma ho un vuoto totale.
considerato lo spazio R4
1)scrivere le equazioni di due sottospazi U,V che siano supplementari.
2)scrivere le equazioni di due sottospazi U,V che siano sommandi diretti ma non supplementari.
la cosa che più non capisco e non trovo da nessuna parte è la definizione di sommandi diretti grz mille in anticipo.
salve ragazzi sono in un mare di guai è cambiato repentinamente il professore ed il nuovo arrivato ha messo nel programma molti argomenti nuovi ed ho solo poco tempo per assimilarli al meglio, ora ve li posto sareste così gentili da spiegarmeli in modo efficace e sintetico?? confido in voi grazie mille in anticipo
[Algebra]
MATRICI SIMMETRICHE ED ANTISIMMETRICHE (definizione e differenze)
MATRICI ORTOGONALI
DIAGONALIZZAZIONE ORTOGONALE
[Geometria]
PIANO EUCLIDEO, SPAZIO EUCLIDEO
PARALLELISMO ...
Salve gente, nel fare un esercizio mi sono bloccato nel punto cruciale.
Non so bene come usare Laplace in questa matrice 4x4 con due parametri.
$A=|(\lambda,0,0,0),(2,4,-2,0),(2,4,-1,2),(\mu,0,0,1)|$
Io partirei nel prendere l'$" "1$ in basso a destra, ma non so se cancellare la $mu$ andrebbe bene o no. Oppure non so, ditemi voi, io mi sono bloccato e cercando nei quaderni, sui libri e su internet non ho risolto.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Sia W = $\{(x+y+z+t=0),(x-y-z+t=0):}$ W appartiene a R4 Sia p la proiezione ortogonale su W determinare la rappresentazione matriciale dell proiezione ortogonale.
Qualcuno può aiutarmi perfavore??? grazieeee
Scusate l'ignoranza ma non riesco a capire quando non è possibile la somma diretta fra il Ker e l'im?
Ciao a tutti volevo chiedere un chiarimento riguardo al seguente esercizio:
data $f: RR^4 -> RR^6 f((a, b, x, y)) = (x+y, x+y, x+y, a+b, a+b, a+b)$
Calcolare:
1) $f^-1(1, 2, 1, 1, 0, 0)$ e $f^-1(2, 2, 2, 1, 1, 1)$
Non riesco a capire come calcolare l'inversa di questa funzione.. personalmente credevo bastasse trovare l'inversa della matrice associata alla funzione, ma dato che non è un endomorfismo ovviamente la matrice associata non è invertibile..
Grazie
in esercitazione mi è capitato questo esercizio e non saprei davvero da dove iniziare:
dato A= (w $in$ $C$ | |w|=1 con |w|≠ -1) e sia
T= $e^{(z-1)/(z+1)}$
si dimostri che se z $in$ A allora ARG T puo assumere solo un numero finito di valori, se possibile si scriva T nella forma a+ib (nel caso in cui z $in$ A
ringrazio anticipatamente per eventuali soluzioni o aiuti su come iniziare
Dato il vettore a di componenti ( 2,-4), b di modulo 8 e che forma con il semiasse negativo delle y un angolo di 60°, devo calcolare il vettore somma,(modulo e angolo con l'asse x), il prodotto scalare e il prodotto vettoriale.
Il modulo è $ sqrt(68+16sqrt(3))$, mentre l'angolo formato con l'asse delle x è arct di 0,18 che è 0,17 espresso in radianti e che dovrei portare in gradi, è giusto ?
Buonasera a tutti
Consideriamo 3 matrici quadrate simmetriche aventi lo stesso ordine, diciamo \(\displaystyle A,B,C \). Siano \(\displaystyle A \) e \(\displaystyle C \) definite positive, e sia \(\displaystyle B \) semidefinita positiva (o anche definita positiva). Esiste una matrice \(\displaystyle M \), invertibile, tale che le tre matrici \(\displaystyle M^T A M , M^T B M, M^T C M \) siano tutte diagonali?
Dell'esistenza sono pressocchè sicuro, ma non ho idea di come trovare la matrice ...
ciao a tutti, ho un dubbio, quando mi si chiede di diagonalizzare una matrice $A$ simmetrica attraverso una matrice ortogonale, io calcolo autovalori e corrispondenti autovettori, nel caso in cui $2$ autovettori hanno lo stesso autovalore questi non sono ortogonali tra loro, pertanto li devo ortogonalizzare, mi chiedo ma il vettore che trovo dopo aver applicato l'algoritmo di Gram-Schmidt è ancora un autovettore della matrice $A$ iniziale? spero di ...
Salve!
Ho qui un esercizio su endomorfismo (e la filosofia di tale esercizio è fare il meno dei calcoli possibili...)
$f(x,y,z)=(2x+3y-z, -y+z, -6y+4z)$
matrice associata:
$A=((2,0,0),(3,-1,-6),(-1,1,4))$
$|A|=4$ non singolare
1) dimensioni dell'Im e del ker
dato che sono tutti e tre vettori L.I (me ne accorgo dal fatto che ha rango massimo) $dim Ker f = 0$ e $dim Im f = 3$
2) autovalori, autovettori, autospazi
autovalori
$A=((2-t,0,0),(3,-1-t,-6),(-1,1,4-t))$
$t=2$ $m.a = 2$
...
Salve a tutti, mi trovo in difficoltà con questo esercizio.
Data la matrice quadrata dipendente dal parametro reale $h$:
$A=( ( 1 , 1 , h ),( 2 , h , 2 ),( 3 , h , 3 ) ) $
Determinare gli autovalori di $A$ e le loro rispettive molteplicità algebriche per $h=0$.
Caso $h=0$
$A=( ( 1 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 2 ),( 3 , 0 , 3 ) )$
$(A-\lambdaI)=( ( 1-\lambda , 1 , 0 ),( 2 , -\lambda , 2 ),( 3 , 0 , 3-\lambda ) )$
Il cui determinante (calcolato operando una riduzione, cioè sottraendo tra loro prima e terza colonna per semplificare la matrice) mi fornisce un'equazione di terzo ...
Cerco solo una conferma di quanto fatto, vi riporto la soluzione dell'esercizio. Grazie.
$f(x,y,z,t) = (x+z-2t,2y,x+z+2t,2t)$
La matrice associata all'endomorfismo è:
$A = ((1,0,1,-2),(0,2,0,0),(1,0,1,2),(0,0,0,2))$
Polinomio caratteristico $det(A-\lambdaI_n)$ = $[(1-\lambda,0,1,-2),(0,2-\lambda,0,0),(1,0,1-\lambda,2),(0,0,0,2-\lambda)]$=
=$-(2-\lambda)*[(1-\lambda,0,1),(0,2-\lambda,0),(1,0,1-\lambda)]$=
=$-(2-\lambda)*((1-\lambda)*([((2-\lambda),0),(0,1-\lambda)]) +[(0,2-\lambda),(1,0)])$=
=$-(2-\lambda)*((1-\lambda)^2 *(2-\lambda) - (2-\lambda))$=
=$-(2-\lambda)^2 * ((1-\lambda)^2 -1)$ =
=$-(2-\lambda)^2 * (1 +\lambda^2 -2\lambda -1)$ =
=$-(2-\lambda)^2 * (\lambda^2 -2\lambda)$ =
=$\lambda(2-\lambda)^3$
Gli autovalori sono:
$\lambda_1 = 0$ (singolo) m.a. = 1
$\lambda_2 = 2$ (triplo) m.a. = 3
L'autospazio di ...
Solito esercizio, mi viene dato un endomorfismo e dopo aver trovato dimensioni e basi di Ker(f) e Im(f), devo ricercare, basi e dimensione di:
Im(f)+U
Im(f) (intersezione) U
dove $U = {(x,y,z,t) in R^4 : 5x +2y +z +3t = 0}$
ed $Im(f) = L((0,2,0,0);(1,0,1,0);(-2,0,2,2))$
Giusto per informazione, l'endomorfismo è il seguente:
$f(x,y,z,t) = (x+z-2t,2y,x+z+2t.2t)$
Fin quando devo trovare la dimensione e la base della somma dei due sottospazi vettoriali di R^4, non c'è problema. Costruisco la matrice con i 6 vettori delle due basi, trovo il rango(RHO), e prendo RHO ...
non so come trovare una matrice ortogonale! Ovvero che la trasposta di una matrice sia uguale alla sua inversa! c'è qualcuno che sa aiutarmi?
Una matrice ortogonale è sempre diagonalizzabile?
Si determini la curva cartesiana intersezione tra la superficie cartesiana x*y-z=0 ed il piano cartesiano x+y-z=1
si parametrizzi tale curva calcolandone la curvatura
La superficie è una nota quadrica, quale?
Io ho provato a fare cosi:
per l'intersezione ho fatto il sistema tra superficie e piano, la superficie è un paraboide iperbolico, non riesco a parametrizzare la curva, mi potreste dire come si fa?
Non ho scritto in MathJax perchè non so usarlo, quindi scusatemi anticipatamente.
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