Topologia quoziente in \(S^{1}\)

[5mrkv]

Let \(X\) and \(Y\) be topological spaces; let \(q:X\rightarrow Y\) be a surjective map. The map is \(q\) is said to be a quotient map provided a subset \(U\) of \(Y\) is open in \(Y\) if and only if \(q^{-1}(U)\) is open in \(X\).

Dato \(X\) consideriamo una sua partizione \(X^{*}\) composta di insiemi disgiunti e \(s:X\rightarrow X^{*}\) l'applicazione che associa ad un punto \(x\in X\) l'insieme della partizione che lo contiene. L'applicazione è suriettiva. Consideriamo ora \(\tau_{X^{*}}\), la topologia in \(X^{*}\) tale che \(U \in \tau_{X^{*}}\) se \(s^{-1}(U)\in \tau_{X}\). Con questa topologia \(s\) diventa una mappa quoziente.

Se considero l'insieme \(X=[0,2\pi]\) e una sua partizione \(X^{*}\) composta da \(\{0,2\pi\}\) e dagli insiemi \(\{x\}\) fatti dei punti intermedi, la partizione è uno spazio topologico con la topologia che trasforma \(s\) in una mappa quoziente. L'applicazione \(h:X^{*}\rightarrow S^{1}\)
\[
h(x)=
\begin{cases}
(0,1) &\mbox{ se } x=\{0,2\pi\} \\
(\cos x,\sin x)&\mbox{ se } x \in X^{*}-\{0,2\pi\} \\
\end{cases}
\]
mi sembra un omeomorfismo con inversa
\[
h^{-1}(y)=
\begin{cases}
\{0,2\pi\} &\mbox{ se } y=(0,1) \\
\{\cos ^{-1}\pi_{1}(y) \}&\mbox{ se } y \in S^{1}-(0,1)\\
\end{cases}
\]
In questo modo se considero il sottoinsieme di \(X^{*}\) composto dai punti \(\{x\}\) fra ad esempio \(\alpha\) e \(\beta\) (esclusi, tale che \((\alpha,\beta)\subset [0,2\pi]\)), questo insieme è aperto nel sottospazio \([0,2\pi]\subset \mathbb{R}\) perché la sua retroimmagine con \(s\) è aperta in \(\mathbb{R}\). Inoltre la sua immagine con \(h\) è un aperto in \(S^{1}\) per via dell'omeomorfismo. No?

Ho visto il disegno di un aperto su \(S^{1}\) e volevo capire come ottenervi una topologia. Se considero \(S^{1}\) come sottospazio di
\(\mathbb{R}^{2}\) con la product topology, non mi sembra chiaro perché \(U\) link debba essere un insieme aperto.

[perplesso1]

"5mrkv":non mi sembra chiaro perché U link debba essere un insieme aperto.

L'arco evidenziato in figura è l'intersezione $S^1 \cap {(x,y)| x >0}$ e siccome il semipiano ${(x,y)| x >0}$ è aperto in $R^2$ allora quell'arco è aperto in $S^1$ considerato come sottospazio. In generale per ottenere un aperto su quella circonferenza devi intersecarla con un aperto di $R^2$ (cioè con un'unione arbitraria di rettangoli del piano). Ovviamente dall'intersezione otterrai archi oppure unioni di archi di $S^1$. Ti quadra ?

[5mrkv]

Grazie. Mi torna.

[5mrkv]

Qualcuno sa se l'omeomorfismo è corretto?