Laplace con parametro
Salve gente, nel fare un esercizio mi sono bloccato nel punto cruciale.
Non so bene come usare Laplace in questa matrice 4x4 con due parametri.
$A=|(\lambda,0,0,0),(2,4,-2,0),(2,4,-1,2),(\mu,0,0,1)|$
Io partirei nel prendere l'$" "1$ in basso a destra, ma non so se cancellare la $mu$ andrebbe bene o no. Oppure non so, ditemi voi, io mi sono bloccato e cercando nei quaderni, sui libri e su internet non ho risolto.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Non so bene come usare Laplace in questa matrice 4x4 con due parametri.
$A=|(\lambda,0,0,0),(2,4,-2,0),(2,4,-1,2),(\mu,0,0,1)|$
Io partirei nel prendere l'$" "1$ in basso a destra, ma non so se cancellare la $mu$ andrebbe bene o no. Oppure non so, ditemi voi, io mi sono bloccato e cercando nei quaderni, sui libri e su internet non ho risolto.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Ciao, se devi calcolare il determinante basta sviluppare lungo la prima riga (dato che ci sono tre zeri) e viene $lambda*det[(4, -2, 0), (4, -1, 2), (0, 0, 1)] = 4 lambda$.
Comunque qual era di preciso il testo dell'esercizio?
Comunque qual era di preciso il testo dell'esercizio?
Ok grazie, quindi non c'è problema se nel calcolo con Laplace va via un parametro, anche perché penso che il parametro tolto, ritorni calcolando le altre variabili.
Il testo richiedeva di risolvere un sistema lineare 3x4:
${(z+2t=3),(2x+4y-2z=4),(2x+4y-z+2t=7):}$
Da cui, dopo aver preso come minore questo $|(4,-2),(4,-1)|$, ho costruito un sistema di cramer con le equazioni che formano quel minore, e come parametri ho messo le variabile corrispondenti alle colonne che non ne facevano parte, cioè la $x$ e la $t$. Il sistema di cramer ha come matrice $A$, con la quale si svolgono i calcoli per risolvere con cramer.
Il testo richiedeva di risolvere un sistema lineare 3x4:
${(z+2t=3),(2x+4y-2z=4),(2x+4y-z+2t=7):}$
Da cui, dopo aver preso come minore questo $|(4,-2),(4,-1)|$, ho costruito un sistema di cramer con le equazioni che formano quel minore, e come parametri ho messo le variabile corrispondenti alle colonne che non ne facevano parte, cioè la $x$ e la $t$. Il sistema di cramer ha come matrice $A$, con la quale si svolgono i calcoli per risolvere con cramer.
Ok, forse ho capito quello che hai fatto ma non credo che fosse la soluzione più rapida. Ti posto la mia idea.
Scrivo la matrice completa associata al sistema: $[(0, 0, 1, 2, 3), (2, 4, -2, 0, 4), (2, 4, -1, 2, 7)]$. Quello che voglio fare è procedere con Gauss ma il primo elemento in alto a sinistra è uno $0$, quindi cambio l'ordine delle righe: $[(2, 4, -2, 0, 4), (2, 4, -1, 2, 7), (0, 0, 1, 2, 3)]$.
Applico la seguente trasformazione: al posto della seconda riga scrivo la differenza tra la seconda e la prima: $[(2, 4, -2, 0, 4), (0, 0, 1, 2, 3), (0, 0, 1, 2, 3)]$ poi mi accorgo che la seconda e la terza riga sono uguali quindi applico un'altra trasformazione e ne annullo una: $[(2, 4, -2, 0, 4), (0, 0, 1, 2, 3), (0, 0, 0, 0, 0)]$.
Vedo che il rango dell'incompleta è $2$, uguale al rango della completa, quindi la soluzione dipende da $4-2=2$ parametri. Tengo il minore $[(4, -2), (0, 1)]$ e porto le altre incognite dall'altra parte come parametri: $[(4, -2, 4-2x), (0, 1, 3-2t)]$, da cui ottengo $z=3-2t$ e $4y=4-2x+6-4t=10-2x-4t rarr y=5/2-x/2-t$. Fine.
Scrivo la matrice completa associata al sistema: $[(0, 0, 1, 2, 3), (2, 4, -2, 0, 4), (2, 4, -1, 2, 7)]$. Quello che voglio fare è procedere con Gauss ma il primo elemento in alto a sinistra è uno $0$, quindi cambio l'ordine delle righe: $[(2, 4, -2, 0, 4), (2, 4, -1, 2, 7), (0, 0, 1, 2, 3)]$.
Applico la seguente trasformazione: al posto della seconda riga scrivo la differenza tra la seconda e la prima: $[(2, 4, -2, 0, 4), (0, 0, 1, 2, 3), (0, 0, 1, 2, 3)]$ poi mi accorgo che la seconda e la terza riga sono uguali quindi applico un'altra trasformazione e ne annullo una: $[(2, 4, -2, 0, 4), (0, 0, 1, 2, 3), (0, 0, 0, 0, 0)]$.
Vedo che il rango dell'incompleta è $2$, uguale al rango della completa, quindi la soluzione dipende da $4-2=2$ parametri. Tengo il minore $[(4, -2), (0, 1)]$ e porto le altre incognite dall'altra parte come parametri: $[(4, -2, 4-2x), (0, 1, 3-2t)]$, da cui ottengo $z=3-2t$ e $4y=4-2x+6-4t=10-2x-4t rarr y=5/2-x/2-t$. Fine.
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