Eserizio autovalori con parametro.
Salve a tutti, mi trovo in difficoltà con questo esercizio.
Data la matrice quadrata dipendente dal parametro reale $h$:
$A=( ( 1 , 1 , h ),( 2 , h , 2 ),( 3 , h , 3 ) ) $
Determinare gli autovalori di $A$ e le loro rispettive molteplicità algebriche per $h=0$.
Caso $h=0$
$A=( ( 1 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 2 ),( 3 , 0 , 3 ) )$
$(A-\lambdaI)=( ( 1-\lambda , 1 , 0 ),( 2 , -\lambda , 2 ),( 3 , 0 , 3-\lambda ) )$
Il cui determinante (calcolato operando una riduzione, cioè sottraendo tra loro prima e terza colonna per semplificare la matrice) mi fornisce un'equazione di terzo grado che sinceramente mi pare piuttosto strana.
Mi potete dare una mano? Grazie mille
....
Data la matrice quadrata dipendente dal parametro reale $h$:
$A=( ( 1 , 1 , h ),( 2 , h , 2 ),( 3 , h , 3 ) ) $
Determinare gli autovalori di $A$ e le loro rispettive molteplicità algebriche per $h=0$.
Caso $h=0$
$A=( ( 1 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 2 ),( 3 , 0 , 3 ) )$
$(A-\lambdaI)=( ( 1-\lambda , 1 , 0 ),( 2 , -\lambda , 2 ),( 3 , 0 , 3-\lambda ) )$
Il cui determinante (calcolato operando una riduzione, cioè sottraendo tra loro prima e terza colonna per semplificare la matrice) mi fornisce un'equazione di terzo grado che sinceramente mi pare piuttosto strana.
Mi potete dare una mano? Grazie mille
....
Risposte
Facendo i calcoli (come hai fatto tu con la trasformazione di colonna o anche direttamente con Sarrus) il determinante viene $-k^3+4k^2-k$ che in realtà non ha nulla di strano.
$-k^3+4k^2-k = 0 rarr k^3-4k^2+k=0 rarr k(k^2-4k+1)=0 rarr ...$
Cos'è che non ti torna?
$-k^3+4k^2-k = 0 rarr k^3-4k^2+k=0 rarr k(k^2-4k+1)=0 rarr ...$
Cos'è che non ti torna?
"minomic":
Facendo i calcoli (come hai fatto tu con la trasformazione di colonna o anche direttamente con Sarrus) il determinante viene $-k^3+4k^2-k$ che in realtà non ha nulla di strano.
$-k^3+4k^2-k = 0 rarr k^3-4k^2+k=0 rarr k(k^2-4k+1)=0 rarr ...$
Cos'è che non ti torna?
Tutto ok, grazie mille ho capito il mio stupido errore, ora i conti tornano
....
"lo92muse":
[quote="minomic"]Facendo i calcoli (come hai fatto tu con la trasformazione di colonna o anche direttamente con Sarrus) il determinante viene $-k^3+4k^2-k$ che in realtà non ha nulla di strano.
$-k^3+4k^2-k = 0 rarr k^3-4k^2+k=0 rarr k(k^2-4k+1)=0 rarr ...$
Cos'è che non ti torna?
Tutto ok, grazie mille ho capito il mio stupido errore, ora i conti tornano
....[/quote]Ottimo!
"minomic":
[quote="lo92muse"][quote="minomic"]Facendo i calcoli (come hai fatto tu con la trasformazione di colonna o anche direttamente con Sarrus) il determinante viene $-k^3+4k^2-k$ che in realtà non ha nulla di strano.
$-k^3+4k^2-k = 0 rarr k^3-4k^2+k=0 rarr k(k^2-4k+1)=0 rarr ...$
Cos'è che non ti torna?
Tutto ok, grazie mille ho capito il mio stupido errore, ora i conti tornano
....[/quote]Ottimo!
[/quote]Scusa se ti disturbo ancora, ma sto impazzendo sul calcolo degli autovalori di una matrice, questa volta senza parametro.
Eccola:
$A=( ( 3 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 3 ) ) $
Ho provato a fare diverse riduzioni, ma non riesco a trovare gli autovalori corretti. Mi potresti dare una mano a scrivere il polinomio caratteristico, o meglio, tu come lo scriveresti?
Grazie mille
....
$(3-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+4)$
Ciao, trovare gli autovalori non si basa sulla riduzione (o meglio... non è necessario farla)
$A-lambdaI=[(3-lambda, -1, 1), (1, 1-lambda, 1), (1, -1, 3-lambda)]$.
Calcoliamo il suo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus, e viene $-lambda^3+7lambda^2-16lambda+12$.
Uguaglio questo determinante a zero: $-lambda^3+7lambda^2-16lambda+12 = 0 rarr lambda^3-7lambda^2+16lambda-12=0$ che è un'equazione di terzo grado. Si nota che il membro di sinistra può essere scomposto con Ruffini poichè si annulla per $lambda=2$ e quindi si procede al calcolo delle soluzioni, cioè gli autovalori, che risultano $lambda=2$ con molteplicità algebrica $2$ e $lambda=3$.
C'è qualcosa che non ti è chiaro?
$A-lambdaI=[(3-lambda, -1, 1), (1, 1-lambda, 1), (1, -1, 3-lambda)]$.
Calcoliamo il suo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus, e viene $-lambda^3+7lambda^2-16lambda+12$.
Uguaglio questo determinante a zero: $-lambda^3+7lambda^2-16lambda+12 = 0 rarr lambda^3-7lambda^2+16lambda-12=0$ che è un'equazione di terzo grado. Si nota che il membro di sinistra può essere scomposto con Ruffini poichè si annulla per $lambda=2$ e quindi si procede al calcolo delle soluzioni, cioè gli autovalori, che risultano $lambda=2$ con molteplicità algebrica $2$ e $lambda=3$.
C'è qualcosa che non ti è chiaro?
"minomic":
Ciao, trovare gli autovalori non si basa sulla riduzione (o meglio... non è necessario farla)
$A-lambdaI=[(3-lambda, -1, 1), (1, 1-lambda, 1), (1, -1, 3-lambda)]$.
Calcoliamo il suo determinante, ad esempio con la regola di Sarrus, e viene $-lambda^3+7lambda^2-16lambda+12$.
Uguaglio questo determinante a zero: $-lambda^3+7lambda^2-16lambda+12 = 0 rarr lambda^3-7lambda^2+16lambda-12=0$ che è un'equazione di terzo grado. Si nota che il membro di sinistra può essere scomposto con Ruffini poichè si annulla per $lambda=2$ e quindi si procede al calcolo delle soluzioni, cioè gli autovalori, che risultano $lambda=2$ con molteplicità algebrica $2$ e $lambda=3$.
C'è qualcosa che non ti è chiaro?
Grazie mille, sei stato chiarissimo! Io non ho usato la regola di Sarrus, ora ho provato e mi è venuto! Ti ringrazio molto.
PS.: Un ultimo chiarimento: se io volessi, eventualmente ridurmi la matrice per semplificarmi i conti gli autovalori rimarrebbero gli stessi, vero? (essendo il determinante uguale se si compie questo tipo di operazione). Ti dico questo perchè prima avevo provato a fare delle riduzioni in modo corretto, ma i conti non tornavano. Ora ho riprovato a farmi il determinante senza riduzioni e il conto torna. Per esempio avevo fatto la differenza tra la prima e la terza colonna. Ti ringrazio molto
....
Sì puoi applicare tutte le trasformazioni di riga e di colonna che ritieni opportune. Si vede che c'era qualche problema nei calcoli. Ad esempio (errore tipico) se calcoli il determinante con lo sviluppo di Laplace ricordati che alcuni elementi vanno presi con il segno opposto...
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