Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, allora metto l'esercizio ed i passaggi voglio capire se ho sbagliato qualcosa o cos'altro...
Considerare le rette r ed s date da
$r: {(x=1+t),(y=3-t),(z=-3t):}$ $s: {(3x-y-4=0),(z-1=0):}$
Trovare il piano $π$ contenente $r$ e parallelo a $s$.
Cerco l'equazioni cartesiane di $r: {(x+y-4=0),(3x+z-3=0):}$.
E cerco le equazioni parametriche di $s: {(x=t),(y=-4+3t),(z=1):}$
e poi inizio a cercare l'equazione del piano $pi$...
$pi: a(x+y-4)+b(3x+z-3)=0$
$pi: x(a+3b) +ay-4a+3bz-3b=0$
Ora metto i ...

Salve. Non riesco a risolvere quest'esercizio:
\(\displaystyle f:R^4 → R^3, (x,y,z,t) → (x,y,0) \)
Devo calcolare la base del nucleo di quest'applicazione lineare senza usare le matrici. Purtroppo non riesco ad applicare la definizione di nucleo per risolvere tale esercizio.
Ovvero:
"se \(\displaystyle φ:V → W \) è un'applicazione lineare, allora l'insieme dei vettori \(\displaystyle v \) tali che \(\displaystyle φ(v)=0 \) è detto nucleo di \(\displaystyle φ \), e si denota con ...

Salve a tutti,
volevo chiedere come poter vedere la varietà di Stiefel $V_{n}(CC{k})$ delle $n-$uple ortonormali in $CC^{k}$ come spazio omogeneo, della forma $\frac{U(k)}{U(k-n)}$. Sicuramente la posso vedere come sottoinsieme del prodotto di $S^{2k-1} \times ... \times S^{2k-1}$, dove compaiono $n$ fattori. Quindi posso considerare la fibrazione $V_{n}(CC^{k}) \rightarrow S^{2k-1}$ ottenuta tramite l'assegnazione $(e_{1}, ..., e_{n}) \mapsto e_{n}$, dove $e_{i}$ sono vettori ortonormali in ...

Salve a tutti. Riscontro problemi nell'esempio 8.6 :.
Non riesco a capire il passaggio dall'applicazione lineare alla trascrizione dei trasformati dei vettori B. Non capisco inoltre la scrittura [tex]p'(t+1)=2(t+1)[/tex]. ( ho già visto altri esempi, come questo: viewtopic.php?t=65956&p=465443 e l'ho capito, ma questo non mi riesce proprio)

Buondì, ho provato a svolgere questo esercizio solo che ho incontrato dei problemi...qualcuno saprebbe darmi una mano perchè già dai primi passi mi trovo in difficoltà
{{1,1,1,-k,k},
{k+1,0,3,0,3},
{1,-1,2k,1,k+1}
,{1,k,1,-1,1}}
la richiesta dell'es è:
quando il sistema ammette infinite soluzioni ∑ si esprima l'insieme ∑ nella forma ∑=Xo+∑o, essendo ∑0 lo spazio delle soluzioni del sist associato.Infine considerando R4 come spazio euclideo con prodotto scalare canonico; determinare il ...
Salve a tutti, oggi mi sono imbattuta in questo esercizio:
Dati U e V, sottospazi di R4, generati da (vettori colonna)
u1= [2,0,-1,1], u2=[-3,1,3,-1], u3=[5,-1,-4,2]
v1=[3,0,1,2], v2=[3,3,2,1], v3= [4,5,3,1]
1) determinare dim U e dim V (risolto: dimU=2 e dimV=2)
2) verificare che R4 sia la somma diretta di U+V (verificato grazie al teorema delle dimensioni)
3) Dato x(vettore riga)=[3,3,3,-3] si trovino i vettori u ∈ U, v ∈ V tali che x=u+v
Per l'ultimo punto devo sfruttare il teorema secondo ...

Ciao a tutti,
ho un esercizio che ho svolto parzialmente (di cui non sono molto sicuro) e l'ultima parte di cui non conosco il procedimento.
Premetto che ho trovato diversi post sull'argomento ma non sono riuscito ad estrapolarne una soluzione, probabilmente perchè non mi ritrovo con alcune parti dell'esercizio.
l'esercizio dice:
data l'applicazione lineare $f:mathbb(R^3) rarr mathbb(R^3) $ definita da:
$ f(x,y,z)=(-1/3x-2/3z,-y,-4/3x+1/3z) $.
a) scrivere la matrice associata a f rispetto alla base canonica nel dominio e nel ...
Ciao! Chi può spiegarmi in maniera semplice e non troppo "matematichese" il teorema di completamento ad una base? Grazie!

Salve a tutti . Ho urgente bisogno di delucidazioni inerenti questo dubbio !!
Dato il sottospazio U=L ( (-2,1,3,0),(2,1,1,-1),(2,3,2,1),(0,-2,-1,-2) ) devo determinare una sua base .
Allora il mio procedimento è questo :
Scrivo la matrice associata
$((-2,1,3,0),(2,1,1,-1),(2,3,2,1),(0,-2,-1,-2))$
riduco applicando le trasformazioni di Guass-Jordan ottenendo cosi la matrice
$((2,1,0,0),(0,-2,0,-3),(0,0,1,1))$
Arrivati a questo punto , ho trovato 2 modi differenti di proseguire , vorrei sapere quale è corretto.
1° MODO :
I pivots ...

Ciao a tutti, ho un problema con un esercizio...
Dice:
Sia f: R^2 -----> R^2 lineare con f (1 0) = (2 4) e f (0 1) = (-1 1). Qual è la matrice associata a f^-1?
Le cose tra parentesi non da considerarsi in colonna.
Proprio non riesco a risolverlo

Ragazzi sono sempre qui a chiedervi aiuto riguardo algebra lineare. Ho svolto diversi esercizi proposti dal tutor, il problema è che sono privi di soluzione, perciò volevo chiedervi un parere al riguardo.
esercizio
Nello spazio vettoriale $RR^3$ si considerino i vettori $\vec u_1 = ( 1, 1, 1 ) \vec u_2 = ( 0, 1, 1 ) \vec u_3 = ( 0, 0, 1 )$
Si consideri la funzione $f: RR^3 -> RR^3 (x, y, z) ->( 3x + 3y + z, x - y + z, 2x + 2y )$
(1) determinare la matrice associata ad f rispetto alla base $B = {\vec u_1, \vec u_2, \vec u_3}$, stabilire se f è iniettiva.
(2) sia $W = <(1, 2, -1), (1, -1, -2)>$ determinare la ...

Mi potete dare un metodo per risolvere esercizi di questo tipo visto che non saprei proprio come procedere ? Grazie in anticipo a chi risponde
Determinare le eventuali parabole e le eventuali circonferenze appartenenti al fascio generato dalle coniche $ C: 3x^2 + 4xy + 4x - 1 = 0$ e $ C': 3y^2 - 4xy - 4x + 5y - 1 = 0 $

Salve a tutti, vi voglio proporre alcuni esercizi che non riesco a risolvere, non so, ci ho passato intere ore su, ma buio, zero totale...perciò, mi sono detto: "Vuoi vedere che quei geniacci di Matematicamente riescono a risolverli in un batter di ciglia?"
Ed eccomi qua, vi propongo questa immagine con alcuni esercizi che per voi saranno semplicissimi, ma per me non lo sono...
Vi chiedo se gentilmente ci sarebbe qualcuno capace di risolverli e magari commentarli per renderli di più facile ...

Sto andando un po' avanti da solo con il programma, ma c'è un esercizio che non riesco a svolgere. Si tratta sicuramente di una banalità, ma al momento non riesco ad utilizzare le condizioni che vengono date.
Vien detto: si consideri il fascio di coniche di \(\displaystyle \mathbb{P}^2(K) \) definito dalle condizioni che il punto \(\displaystyle (1 \ 0 \ 0)^t \) sia polo della retta \(\displaystyle X_{0}=0 \) e il punto \(\displaystyle (1 \ 1 \ 1)^t \) sia polo della retta \(\displaystyle ...

Ragazzi ho bisogno di un aiuto riguardo il seguente esercizio:
sia $f:RR^4->RR^4$ un'applicazione lineare tale che
$f(1, 1, 0, 0) = (-2, 4, -2, 0)$
$f(0, 0, 0, 1) = (2, -1, 1, 5)$
$f(2, 0, 1, 0) = (2, 1, 1, 0)$
$f(0, 0, -1, 0) = (-2, 1, -3, 0)$
Trovare l'immagine del vettore $(2, 3, -3, 4)$
Inizialmente trovo che (1,1,0,0), (0,0,0,1), (2,0,1,0), (0,0,−1,0) sono una base di $RR^4$ e determino la matrice associata alla funzione rispetto alle basi canoniche di $RR^4$
$M = ((-2, 2, 2, -2),(4, -1, 1, 1),(-2, 1, 1, -3),(0, 5, 0, 0))$
quindi $f(x, y, z, t) = (-2x +2y +2z -2t, 4x -y +z +t, -2x +y +z -3t, 5y)$
quindi ...

$R=Af{(1,0,1,0,0), (1,0,1,1,0)}, Q= Af{(1,1,1,0,0), (0,0,1,0,0)}, F= Af{(1,2,2,0,0), (2,0,2,0,0)}$ sono le tre rette.
Dire se le seguenti rette R e Q sono incidenti, parallele o sghembe e dare la dimensione del sottospazio da loro generato.
Per ultima cosa dare le dimensioni di: $R nn Af(Q uu F) $
allora io sinceramente sono in crisi su tutto l'esercizio, ma ci ho provato (fino a un certo punto).
Innanzitutto ho riscritto $R=(1,0,1,0,0)+L((1,0,1,1,0)-(1,0,1,0,0))=(1,0,1,0,0)+L(0,0,0,1,0)$
e stessa cosa per $ Q=(1,1,1,0,0)+L((1,1,1,0,0)-(0,0,1,0,0))=(1,1,1,0,0)+L(1,1,0,0,0)$
ora controllo se sono parallele:
$rk((0,0,0,1,0),(1,1,0,0,0))=2$ quindi non lo sono... giusto? doveva essere 1 per ...

X= palla chiusa di centro 0 e raggio 1 in R2
Y=X\([0,1]x{0}) (cioè X meno il raggio orizzontale per intenderci).
Y è omeomorfo a {(x,y) in R2|y \geq 0}??
Salve, tra 5 settimane ho l'esame di algebra lineare e geometria! Dai sistemi lineari alle quadriche! Sto cercando di impegnarmi, è la prima volta che studio seriamente una materia scientifica, non ho basi eccellenti di matematica ma se m'impegno riesco (almeno per quel poco che ho fatto)! Fatto sta che oggi facendo gli esercizi del capitolo su prodotto scalare, basi ortogonali, ortonormali ecc... mi sono accorta che devo ripetere per bene tutto da "Che cos'è una matrice?"! E fare molti più ...

Ho due o tre quesiti da porvi, veloci veloci... almeno spero.
Dato $X={(r,s,t,2r-s+t+1,r,2s-t-1)}=(0001-1)+r(10021)+s(010-12)+t(0011-1)$
Che cosa è $L(X)$?
$L(X)=X$?
il mio problema è che non so gestire questo insieme perché ho un punto ti appoggio(o fisso) e quindi dovrebbe essere un affine... infatti secondo me $AF(X)=(0001-1)+L{(10021),(010-12),(0011-1)}$
cosa è quindi L(X)?
Un ultima domanda... se ho $B=(3020)+L(-11-11)$ è corretto se dico che {(3020),(-11-11)} è una base geometrica di B e che (-11-11) è una base lineare della direzione di B?

Salve a tutti
Volevo chiedere aiuto riguardo al seguente esercizio
$V = {(x, y, z) in RR^3 \x = 0} $
$W = <(1, 1, 1), (1, 0, 0), (2, -3, -3)>$
1) Scrivere le equazioni di $W$
2) Trovare una base per $V nn W$
Grazie!