Dubbio di "teoria" su autovettori ortogonali

[angeloferrari]

ciao a tutti, ho un dubbio, quando mi si chiede di diagonalizzare una matrice $A$ simmetrica attraverso una matrice ortogonale, io calcolo autovalori e corrispondenti autovettori, nel caso in cui $2$ autovettori hanno lo stesso autovalore questi non sono ortogonali tra loro, pertanto li devo ortogonalizzare, mi chiedo ma il vettore che trovo dopo aver applicato l'algoritmo di Gram-Schmidt è ancora un autovettore della matrice $A$ iniziale? spero di essermi spiegato, grazie in anticipo per eventuali risposte

[ciampax]

Poniti questa domanda: se ortogonalizzi una base di uno spazio vettoriale con GS, hai ancora una base?

[angeloferrari]

si ho ancora una base, però non so, sarà che sono tardo a capire:) non riesco a capire perché sia ancora un autovettore della matrice di partenza, io vedo un autovettore come un vettore che mantiene la sua direzione durante l'endoformismo perchè un vettore ortogonale a esso dovrebbe fare la stessa cosa?, se non l'ho trovato nella ricerca degli autovettori , perché quel vettore ortogonalizzato è ancora un autovettore?

[ciampax]

Diciamo che i due autovettori di base sono $v_i,\ i=1,2$. Ora, da GS hai

$u_1=v_1,\ u_2=v_2-{}/{} v_1=v_2-p(v_2,v_1) v_1$.

Poiché $Av_i=\lambda v_i$ si ha

$A u_1=A v_1=\lambda v_1=\lambda u_1$

$A u_2=A(v_2-p(v_2,v_1) v_1)=A v_2-p(v_2, v_1) Av_1=\lambda v_2-p(v_2,v_1) \lambda v_1=\lambda u_2$

Convinto?

[angeloferrari]

ora va un po' meglio grazie