Esercizio numero complesso

[gian91io]

in esercitazione mi è capitato questo esercizio e non saprei davvero da dove iniziare:

dato A= (w $in$ $C$ | |w|=1 con |w|≠ -1) e sia
T= $e^{(z-1)/(z+1)}$

si dimostri che se z $in$ A allora ARG T puo assumere solo un numero finito di valori, se possibile si scriva T nella forma a+ib (nel caso in cui z $in$ A

ringrazio anticipatamente per eventuali soluzioni o aiuti su come iniziare

[Sk_Anonymous]

"gian91io":[...] A= (w $in$ $C$ | |w|=1 con |w|≠ -1) [...]

Che senso ha chiedere che \(\displaystyle |w|=1 \) e poi ribadire che dev'essere \(\displaystyle |w| \ne -1 \)? Hai ricopiato bene il testo?

[gian91io]

in effetti è |w|=1 con w diverso da -1 (la seconda w senza modulo)...

[ciampax]

Bé, io calcolerei per prima cosa che forma ha o come si esprime $arg T$ in generale, e poi vedrei cosa accade nel caso particolare che $z\in A$. Per determinare l'espressione dell'argomento, ti conviene scrivere $T$ in forma trigonometrica, partendo da $z=x+iy$ e svolgendo un po' di conti (ricordati come è definito l'esponenziale complesso).

[gian91io]

in tutto ciò mi blocca comunque il denominatore all esponente che non riesco a semplificare...

[ciampax]

Se $z=x+iy$ si ha

${z-1}/{z+1}={x+iy-1}/{x+iy+1}={(x+iy-1)(x-iy+1)}/{|x+iy-1|^2}={(x^2-1)+y^2+iy(x+1-x+1)}/{(x-1)^2+y^2}={x^2+y^2-1+2iy}/{(x-1)^2+y^2}=X+iY$

con $X={x^2+y^2-1}/{(x-1)^2+y^2},\ Y={2y}/{(x-1)^2+y^2}$. Quindi

$T=e^{X+iY}=e^X(\cos Y+i\sin Y)$

Adesso ragionaci su.

[gian91io]

ci sono riuscito grazie per l'aiuto