Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve ho questo esercizio che non so da dove iniziare per risolvere:
Sia F: R4→R4 l'operatore lineare definito dalle condizioni seguenti: (1,1,1,1) è autovettore di autovalore 2; (1,0,0,0) è autovettore di autovalore 1; Ker(f) è il sottospazio di equazioni: { ( x1+x2 =0),( x3+x4=0 )
1) determinare la matrice di F rispetto alla base standard di R4 presa come base di partenza e di arrivo.
2)determinare una base di Im(F)
3) dire se F è diagonalizzabile.
grazie 1000 in anticipo!!!
Ciao a tutti,
questa volta non ho da proporvi un esercizio specifico, ma un procedimento plausibile.
L'esame è quasi arrivato, ed il prof ha detto che metterà un esercizio del tipo:
"Date due funzioni f e g che dipendono da k, trovare per quali valori di k Im(f)=Ker(g)"
Al di là dei veri dati che possono essere disponibili, come svolgereste un esercizio di questo tipo?
Grazie in anticipo!
Io avevo pensato questo: avendo a disposizione le due funzioni, per f mi ricavo Im(f) e Ker(g) e li ...
Salve Ragazzi dalle menti più sveglie delle mie..premetto che so che è una rotazione e tutto..non so calcolare il punto unito in quanto ho serie difficoltà e confusioni con le radici..per piacere potete scrivermi tutti i passaggi del punto unito come aveste davanti una scema?grazie
ciao a tutti,
ho un esercizio di algebra lineare che ho svolto ma di cui non sono molto sicura, qualcuno potrebbe darmi una mano a capire se e dove ho sbagliato???
l'esercizio è il seguente:
Nel seguito $\nu$ = $\V_7$($\RR$) e, quando si parla di ortogonalità, ci si riferisce al prodotto scalare standard di $\nu$. Sia X il seguente sottoinsieme di $\nu$:
{(s,t,s,t,s,t,s)} con s,t $\in$ $\RR$ ...
Non riesco a capire come impostare l'esercizio, o meglio come ricavarmi la matrice.
Sia F:R^3---->R^3 l'applicazione lineare definita da
F:((-2,1,1))=(h-2,h-2,h-2), F:((1,0,1))=(3h,3h,2), F:((1,-1,0))=(1,-1.1) dove h è un parametro reale.
Che cosa vuol dire sfruttare la linearità per scrivere la matrice rappresentativa di un operatore lineare? Ho:
F(e1+e3)=e1+e2+2e3
F(2e2)=e2
F(e2+3e3)=3e1+5e2+6e3
Io scriverei la matrice mettendo per colonna (1,1,2) (0,1,0) (3,5,6) ma la risoluzione dell'esercizio dice che sfruttando la linearità si ha la matrice che ha per colonna (0,1/2,0) (0,7/2,0) (1,1/2,2)....perchè? Alla fine non arrivo sempre agli stessi risultati, ad esempio il rango delle 2 matrici è sempre 2!
L'idea di passare l'esame ...
Ho un sacco di dubbi sulla Dualità, in parole povere cos'è?
Cosa vuol dire che due spazi vettoriali sono isomorfi, vuol dire solo che dati due spazi V,W essi hanno solo stessa dimensione?
Cosa vuol dire che V,V* sono isomorfi dipendentemente dalla base mentre sono isomorfi in modo canonicoV eV**?
E in che senso il prodotto scalare è una dualità?
Affrontati tutti i problemi di teoria, come si crea una base duale ad esempio di B={(1,2,3),(1,-1,2),(1,0,1)} oppure data una f appartentente a ...
Salve a tutti sono bloccata su un esercizio che spero possiate aiutarmi a risolvere
Sia f: V → V un operatore lineare su uno spazio vettoriale V di dimensione finita, e sia C ∈ |R un autovalore di f
a) Si definisca la molteplicità geometrica dell'autovalore C
b) si definisca la molteplicità algebrica dell'autovalore C
c) se Dim V=4 e l'autovalore X ha molteplicità geometrica pari a 2, si provi che, detta ma(c) la molteplicità algebrica di C, si ha 2
Buongiorno a tutti, ho un dubbio enorme spero riusciate a darmi una mano.
Sto facendo es di geometria dove bisogna discutere la posizione di piani nello spazio al variare di un parametro, oppure classificare delle quadriche al variare di un parametro. Dunque in ogni caso scrivo la matrice associata e la riduco a scala con gauss, solo che mi vengono sempre delle equazioni enormi che spesso non riesco a semplificare. Per esempio:
devo rendere zero l'elemento di posto 21 che è k-1, moltiplicando ...
salve a tutti ho un urgentissimo problema riguardante le matrici associate ad un endomorfismo semplice:
La definizione recita che " sia f un applicazione lineare definita da V a W con B e C basi di V e W la matrice associata ad essa ha sulle sue colonne le componenti delle immagini dei vettori di B rispetto alla base C"
come ho sempre visto fare dunue prendo il primo vettore della base B rispetto alla sua stessa base : sia ad esempio v=(2,4,6,8) sulla sua base ha componenti (1,0,0,0) per ...
Ciao ragazzi,
volevo chiedervi un aiuto.
Ho affrontato il tema della decomposizione QR e SVD.
Mentre per la prima non ho avuto problemi in fase di esercizio, ne ho invece con la seconda.
Devo scomporre una qualsiasi 2x2 a piacimento, ma ho problemi nel formulare un algoritmo dalla teoria.
$A=[[1,2],[0,3]]$
Gli autovalori sono ovviamente $lambda_1=1, lambda_2=3$
Autovettori: $(1,0)^T$ , $(1,1)^T$
Il prossimo passo sarebbe applicare: $[A][A]^T{v}=lambda^2{v}$ ??
poi da qui dovrei trovare ...
È' corretto dire che un endomorfismo è sempre un epimorfismo? E dunque un endomorfismo è un isomorfismo se e solo se è un monomirfismo?
Ciao ragazzi ho un piccolo dubbio...non capisco perchè la dimensione dell'immagine è uguale al rango
se prendiamo in considerazione la matrice
$ A= ( ( 1 , 1 , 1 ),( 1 , 2, 3 ) ) $
il rango di questa matrice non è uguale alla dimensione dell'immagine.
il rango è 2
è l'immagine è di dimensione 3 rappresentata dai vettori colonna.
Dove sbaglio? Grazie
Ciao ragazzi!
Devo dimostrare che l'unione di due sottospazi completi di uno spazio metrico è ancora un sottospazio completo.
Quindi devo far vedere che non esiste nessuna successione di Cauchy nell'unione che converge a qualcosa che non appartiene all'unione. Ma come faccio?
Ho supposto che esista una successione di C. nell'unione che converge ad un elemento esterno. Quindi ricavo una sottosuccessione composta dai soli punti che appartengono solo al primo (equiv. solo al secondo) sottospazio ...
Allora, consideriamo l'insieme
$S := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | z=x^2\}$
Poichè è il grafico di una funzione di classe $C^\infty$, tale insieme costituisce una superficie regolare in $\mathbb{R}^3$.
Voglio dimostrare che $S$ è isometrica ad un piano.
La prima idea che mi è venuta in mente è quella di scrivere esplicitamente l'applicazione "naturale" che prende le due falde di $S$ e le schiaccia sul piano $\{z=0\}$. Tuttavia tale applicazione dovrebbe essere della forma ...
Ciao, amici! Trovo scritto sul Sernesi, Geometria I (p. 350 dell'ed. Bollati Boringhieri del 2000), che, considerando il sottogruppo \(\text{PGL}_2^+(\mathbb{R})\) costituito dalle trasformazioni lineari fratte \(f\in\text{PGL}_2(\mathbb{R})\) tali che \(ad-bc>0\) dove $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, si ha che "\(\text{Im}(f(z))=\text{Im}(z)\) [$"Im"$ è la parte immaginaria] e quindi il gruppo \(\text{PGL}_2(\mathbb{R})\) trasforma in sé il semipiano ...
Devo dimostrare che la distanza di Chebichev, o distanza infinito, è una distanza.
Non riesco a capire come dimostrare la disuguaglianza triangolare.
$$\max_{i=1,...,n}{|x_i-y_i|}
Ciao a tutti, sono ancora io
Sono bloccata su un esercizio che non so proprio come va risolto. Il testo è questo:
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Si consideri la matrice parametrica $ A_t=( ( 2 , 0 , -1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , t ) ) $ al variare di $ tin RR $.
Si determinino due rette $l$ e $h$ in $RR^3$ tali che $ A_4\cdot l!= l $ e $ A_4\cdot h= h $. Quante rette $b$ in $RR^3$ hanno la proprietà che $ A_2\cdot b= b $ ?
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So che l'autospazio è geometricamente ...
Salve , ho cercato nel forum ma non riesco a trovare qualcosa che mi aiuti a capire l'algoritmo per risolvere questo quesito.
Stabilire se è vero che r è una retta per ogni valore del parametro reale c ,giustificando la risposta.
r : \begin{matrix}x+2y+(1-c)z-2=0 \\ x+2y-z-1=0 \end{matrix}
Chiedo scusa ma non sono stato capace di mettere le due equazioni a sistema.
Salve a tutti!
Avrei bisogno di alcuni chiarimenti per quanto riguarda le basi, il kernel e l'immagine di una matrice o dei vettori. Ho letto il post che è in evidenza ma forse perchè ho le idee troppo confuse o perchè ho delle lacune nell'algebra lineare non ho risolto i miei dubbi.
Allora, da quello che ho capito la dimensione del kernel è il numero di vettori che compongono la base, ovvero il numero di vettori linearmente indipendenti, è giusto? E la dimensione del kernel e l'immagine sono ...
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