TLF: \(\text{Im}(f(z))=\text{Im}(z)\)
Ciao, amici! Trovo scritto sul Sernesi, Geometria I (p. 350 dell'ed. Bollati Boringhieri del 2000), che, considerando il sottogruppo \(\text{PGL}_2^+(\mathbb{R})\) costituito dalle trasformazioni lineari fratte \(f\in\text{PGL}_2(\mathbb{R})\) tali che \(ad-bc>0\) dove $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$, si ha che "\(\text{Im}(f(z))=\text{Im}(z)\) [$"Im"$ è la parte immaginaria] e quindi il gruppo \(\text{PGL}_2(\mathbb{R})\) trasforma in sé il semipiano \(\boldsymbol{h}=\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)>0\}\)".
In questa citazione non mi quadrano due cose...
Moltiplicando numeratore e denominatore di \(f(z)\) per \(c\bar{z}+d\) trovo che\[f(z)=\frac{acz\bar{z}+(ad+bc)\text{Re}(z)+bd+\text{i}(ad-bc)\text{Im}(z)}{(c\text{Re}(z)+d)^2+c^2(\text{Im}(z))^2}\]da cui mi sembra quanto mai chiaro che\[\text{Im}(f(z))=\frac{(ad-bc)\text{Im}(z)}{(c\text{Re}(z)+d)^2+c^2(\text{Im}(z))^2}\]che è maggiore di 0 se e solo se \(\text{Im}(z)>0\) (dato che \(ad-bc>0\)), ma non capisco proprio perché dovrebbe essere \(\text{Im}(f(z))=\text{Im}(z)\). Perché mai il denominatore dovrebbe essere sempre uguale ad $ad-bc$?
Ci sarà mica un refuso e sarà mica da intendersi che \(\text{Im}(f(z))>0\iff\text{Im}(z)>0\)?
In tal caso, sostituendo \(\text{PGL}_2\) con \(\text{PGL}_2^+\) troverei un senso in
"\(\text{Im}(f(z))>0\iff\text{Im}(z)>0\) e quindi il gruppo \(\text{PGL}_2^+(\mathbb{R})\) trasforma in sé il semipiano \(\boldsymbol{h}=\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)>0\}\)"... ma il testo del libro così com'è non mi permette di trovarvi alcun senso, nonostante mi ci stia ammattendo da questo pomeriggio...
Che cosa ne pensate*?
Grazie di cuore a tutti!!!
*[size=85]Non escluderei proprio che si tratti di un refuso. Chi usa o ha usato il Sernesi si sarà accorto che ce n'è uno proprio sotto nella stessa pagina, alla [27.19], che deve essere \(f(z)=\frac{uz+v}{-\bar{v}+\bar{u}}\), e uno tre pagine prima, nella formula per l'inversa di $f$, che deve essere \(f^{-1}(z)=\frac{dz-b}{-cz+a}\).[/size]
In questa citazione non mi quadrano due cose...
Moltiplicando numeratore e denominatore di \(f(z)\) per \(c\bar{z}+d\) trovo che\[f(z)=\frac{acz\bar{z}+(ad+bc)\text{Re}(z)+bd+\text{i}(ad-bc)\text{Im}(z)}{(c\text{Re}(z)+d)^2+c^2(\text{Im}(z))^2}\]da cui mi sembra quanto mai chiaro che\[\text{Im}(f(z))=\frac{(ad-bc)\text{Im}(z)}{(c\text{Re}(z)+d)^2+c^2(\text{Im}(z))^2}\]che è maggiore di 0 se e solo se \(\text{Im}(z)>0\) (dato che \(ad-bc>0\)), ma non capisco proprio perché dovrebbe essere \(\text{Im}(f(z))=\text{Im}(z)\). Perché mai il denominatore dovrebbe essere sempre uguale ad $ad-bc$?
Ci sarà mica un refuso e sarà mica da intendersi che \(\text{Im}(f(z))>0\iff\text{Im}(z)>0\)?
In tal caso, sostituendo \(\text{PGL}_2\) con \(\text{PGL}_2^+\) troverei un senso in
"\(\text{Im}(f(z))>0\iff\text{Im}(z)>0\) e quindi il gruppo \(\text{PGL}_2^+(\mathbb{R})\) trasforma in sé il semipiano \(\boldsymbol{h}=\{z\in\mathbb{C}:\text{Im}(z)>0\}\)"... ma il testo del libro così com'è non mi permette di trovarvi alcun senso, nonostante mi ci stia ammattendo da questo pomeriggio...
Che cosa ne pensate*?
Grazie di cuore a tutti!!!
*[size=85]Non escluderei proprio che si tratti di un refuso. Chi usa o ha usato il Sernesi si sarà accorto che ce n'è uno proprio sotto nella stessa pagina, alla [27.19], che deve essere \(f(z)=\frac{uz+v}{-\bar{v}+\bar{u}}\), e uno tre pagine prima, nella formula per l'inversa di $f$, che deve essere \(f^{-1}(z)=\frac{dz-b}{-cz+a}\).[/size]
Risposte
Sì, è quella la condizione: del resto tu vuoi dimostrare che il semipiano viene mandato in sé stesso, per cui se $Im(z)>0$ avrai anche $Im(f(z))>0$.
\(f(-d/c)\) grazie dove \(f\) è la trasformazione definita sopra!!! 
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