Disegno parabola degenere (SOS esame lunedì!!)
Ciao a tutti,
lunedì ho la correzione del compito di Geometria e purtroppo l'esercizio che non sono riuscita a fare durante l'esame rimane un mistero anche adesso. Qualcuno può aiutarmi? Mi farebbe davvero un enorme favore!
Si tratta di disegnare una conica genere. Nel mio caso ha equazione: x^2+2xy+y^2-1=0 e si tratta di una parabola degenere.
La parabola degenere ( det(B)=0 e det(A)=0 ) viene rappresentata graficamente mediante 2 rette parallele. In teoria, scomponendo l'equazione della conica dovrei ottenere le 2 rette. Il mio problema è che non riesco proprio a trovare queste rette...
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!!!
lunedì ho la correzione del compito di Geometria e purtroppo l'esercizio che non sono riuscita a fare durante l'esame rimane un mistero anche adesso. Qualcuno può aiutarmi? Mi farebbe davvero un enorme favore!
Si tratta di disegnare una conica genere. Nel mio caso ha equazione: x^2+2xy+y^2-1=0 e si tratta di una parabola degenere.
La parabola degenere ( det(B)=0 e det(A)=0 ) viene rappresentata graficamente mediante 2 rette parallele. In teoria, scomponendo l'equazione della conica dovrei ottenere le 2 rette. Il mio problema è che non riesco proprio a trovare queste rette...
Ringrazio anticipatamente per l'aiuto!!!
Risposte
Ciao e benvenuto/a!
Possiamo dire
\[
x^2 + 2xy + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x+y)^2 = 1 \Rightarrow x+y = \pm1
\]che in effetti sono due rette parallele.
Possiamo dire
\[
x^2 + 2xy + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow (x+y)^2 = 1 \Rightarrow x+y = \pm1
\]che in effetti sono due rette parallele.
Sono sicuro che mymini29 sta scherzando 
Tuttavia vorrei aggiungere che a volte non è facile, come in questo caso, accorgersi della presenza di prodotti notevoli. Volendo quindi procedere elementarmente ( vi sono procedimenti più raffinati) ed una volta stabilito che effettivamente la conica in questione è degenere, si può tentare di risolvere l'equazione data rispetto ad x ( o ad y) :
$y^2+(2x)y+(x^2-1)=0$
da cui :
$y=-x \pm \sqrt{x^2-(x^2-1)}=-x\pm 1$
che produce il medesimo risultato già suggerito dell'onnipresente minomic !
Tuttavia vorrei aggiungere che a volte non è facile, come in questo caso, accorgersi della presenza di prodotti notevoli. Volendo quindi procedere elementarmente ( vi sono procedimenti più raffinati) ed una volta stabilito che effettivamente la conica in questione è degenere, si può tentare di risolvere l'equazione data rispetto ad x ( o ad y) :
$y^2+(2x)y+(x^2-1)=0$
da cui :
$y=-x \pm \sqrt{x^2-(x^2-1)}=-x\pm 1$
che produce il medesimo risultato già suggerito dell'onnipresente minomic !
In effetti una parabola non degenera in 2 rette ma in una sola; forse ti confondi con una iperbole!
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"ciromario":
che produce il medesimo risultato già suggerito dell'onnipresente minomic !
Non so proprio a cosa ti riferisci!
Per me ( ed anche per altri, suppongo !) quella è una parabola che si spezza in due rette parallele. Le due componenti hanno la medesima direzione $(1,-1,0) $ nella quale la parabola risulta tangente alla retta impropria del suo piano. Come accade a tutte le parabole del mondo ...
Grazie mille per il suggerimento!!! Io avevo provato ad isolare la parte degenere dell'equazione ma mi rendo conto che non aveva senso in quanto ero riuscita a trovare solo una retta quindi il mio era un risultato totalmente errato!!
In questo modo invece ottengo 2 rette parallele, grazie ancora per la collaborazione!!
In questo modo invece ottengo 2 rette parallele, grazie ancora per la collaborazione!!
Solo un'ultima cosa, rivedendo l'esercizio mi è sorto un piccolo dubbio. Devo trovare gli autospazi e gli autovettori associati alla matrice A della mia solita conica x2+2xy+y2−1=0. I miei autospazi sono V0 ={(x, -x)} e V2 = {(x,x)} e posso quindi dire che gli autovettori sono v1= (1,-1) e v2= (1,1) ? Oppure è necessario normalizzarli?
Grazie di nuovo!
Grazie di nuovo!
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