Matrici con parametro
Buongiorno a tutti, ho un dubbio enorme spero riusciate a darmi una mano.
Sto facendo es di geometria dove bisogna discutere la posizione di piani nello spazio al variare di un parametro, oppure classificare delle quadriche al variare di un parametro. Dunque in ogni caso scrivo la matrice associata e la riduco a scala con gauss, solo che mi vengono sempre delle equazioni enormi che spesso non riesco a semplificare. Per esempio:
devo rendere zero l'elemento di posto 21 che è k-1, moltiplicando la prima riga per uno scalare e sommandola alla seconda. L'elemento di posto 11 è 2k+4, quindi devo moltiplicarlo per (1-k)/2k+4 e sommarlo all'elemento 21. Solo che, se gli elementi della prima riga sono un poì elaborati e contengono un parametro, quando li vado a moltiplicare per (1-k)/2k+1 mi vengono spesso espressioni di secondo grado o terzo.
Dunque volevo sapere, se devo discutere il rango è lecito fare operazioni anche tra le colonne? o il rango cambia?
E, nel caso di una matrice che rappresenta un sistema lineare, in questo caso non si possono fare operazioni per colonna vero?
Grazie
Sto facendo es di geometria dove bisogna discutere la posizione di piani nello spazio al variare di un parametro, oppure classificare delle quadriche al variare di un parametro. Dunque in ogni caso scrivo la matrice associata e la riduco a scala con gauss, solo che mi vengono sempre delle equazioni enormi che spesso non riesco a semplificare. Per esempio:
devo rendere zero l'elemento di posto 21 che è k-1, moltiplicando la prima riga per uno scalare e sommandola alla seconda. L'elemento di posto 11 è 2k+4, quindi devo moltiplicarlo per (1-k)/2k+4 e sommarlo all'elemento 21. Solo che, se gli elementi della prima riga sono un poì elaborati e contengono un parametro, quando li vado a moltiplicare per (1-k)/2k+1 mi vengono spesso espressioni di secondo grado o terzo.
Dunque volevo sapere, se devo discutere il rango è lecito fare operazioni anche tra le colonne? o il rango cambia?
E, nel caso di una matrice che rappresenta un sistema lineare, in questo caso non si possono fare operazioni per colonna vero?
Grazie
Risposte
Ciao, tante volte per discutere il rango di una matrice conviene partire dal "grande" e poi ridursi al "piccolo".
Ad esempio nel caso di una $4xx4$ potrebbe essere utile calcolare direttamente il suo determinante, dipendente dal parametro. Questo determinante si annullerà per alcuni valori $k_1, k_2, ..., k_n$. Quindi se $k$ è diverso da questi valori il determinante non si annulla e il rango è massimo (nel nostro caso $4$) mentre se $k$ assume uno di quei valori particolari lo vai a sostituire e vedi cosa succede.
Operazioni di colonna non cambiano il rango. Se pensi che $rank(A)=rank(A^T)$ hai già capito il perchè...
Ad esempio nel caso di una $4xx4$ potrebbe essere utile calcolare direttamente il suo determinante, dipendente dal parametro. Questo determinante si annullerà per alcuni valori $k_1, k_2, ..., k_n$. Quindi se $k$ è diverso da questi valori il determinante non si annulla e il rango è massimo (nel nostro caso $4$) mentre se $k$ assume uno di quei valori particolari lo vai a sostituire e vedi cosa succede.
Operazioni di colonna non cambiano il rango. Se pensi che $rank(A)=rank(A^T)$ hai già capito il perchè...
Calcolare i determinanti spesso è scomodo perchè, se devo classificare una quadrica, mi serve sapere esattamente quanto è il rango a seconda del parametro, non solo quando il rango è massimo o meno.
Comunque quando invece devo discutere il rango della matrice completa e incompleta di un sistema, non posso fare operazioni per colonna vero?
E' come se in un sistema del tipo
x+2y=3
4x+5y=6
moltiplicassi solo i coefficienti della y per esempio, o sbaglio?
Comunque quando invece devo discutere il rango della matrice completa e incompleta di un sistema, non posso fare operazioni per colonna vero?
E' come se in un sistema del tipo
x+2y=3
4x+5y=6
moltiplicassi solo i coefficienti della y per esempio, o sbaglio?
"hannabeth":
Calcolare i determinanti spesso è scomodo perchè, se devo classificare una quadrica, mi serve sapere esattamente quanto è il rango a seconda del parametro, non solo quando il rango è massimo o meno.
Infatti, se leggi bene il mio post di prima, puoi sapere esattamente quanto è il rango, sostituendo i valori del parametro che "creano problemi".
"hannabeth":
Comunque quando invece devo discutere il rango della matrice completa e incompleta di un sistema, non posso fare operazioni per colonna vero?
E' come se in un sistema del tipo
x+2y=3
4x+5y=6
moltiplicassi solo i coefficienti della y per esempio, o sbaglio?
Se non mi sbaglio le operazioni di colonna non cambiano il rango della matrice ma cambiano il risultato del sistema, quindi meglio non farle.
Grazie!
"hannabeth":
Grazie!
Prego!
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