Endomorfismo e Epimorfismo
È' corretto dire che un endomorfismo è sempre un epimorfismo? E dunque un endomorfismo è un isomorfismo se e solo se è un monomirfismo?
Risposte
Anzi, mi correggo. Posto F:V-->V' Endomorfismo implica che dimV=dimV'. Allora per il corollario del teorema della dimensione f è un epimorfismo se e solo se f è un monomorfismo . Dunque f sarà anche un isomorfismo!
No, non mi sembra corretto.
L'implicazione $f $ endomorfismo $=> f$ epimorfismo è banalmente falsa.
Controesempio :
$f : V -> V $ tale che $fv=0_v$.
L'altra è vera,
Se $f : V -> V $ è un endomorfismo. Supponiamo $dimV=n$Allora
$f$ epi se e solo se $f$ mono.
Infatti, se $f$ è un epimorfismo allora $dimImf = n$ dal teorema di dimensione $dimImf+dimKerf=dimV => dimKerf=0$ che vuol dire $Kerf={0}$ cioè $f$ monomorfismo.
Se $f$ è monomorfismo allora $dimKerf=0$ e sempre dal teorema di dimensione $dimImf=n=dimV$, ed essendo $V$ l'unico sottospazio di $V$ di dimensione n , ne segue che $Imf=V$ cioè $f$ è un epimorfismo.
L'implicazione $f $ endomorfismo $=> f$ epimorfismo è banalmente falsa.
Controesempio :
$f : V -> V $ tale che $fv=0_v$.
L'altra è vera,
Se $f : V -> V $ è un endomorfismo. Supponiamo $dimV=n$Allora
$f$ epi se e solo se $f$ mono.
Infatti, se $f$ è un epimorfismo allora $dimImf = n$ dal teorema di dimensione $dimImf+dimKerf=dimV => dimKerf=0$ che vuol dire $Kerf={0}$ cioè $f$ monomorfismo.
Se $f$ è monomorfismo allora $dimKerf=0$ e sempre dal teorema di dimensione $dimImf=n=dimV$, ed essendo $V$ l'unico sottospazio di $V$ di dimensione n , ne segue che $Imf=V$ cioè $f$ è un epimorfismo.
Chiaro, grazie 
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