Dimostrare che la distanza di Chebichev è una distanza

[la.spina.simone]

Devo dimostrare che la distanza di Chebichev, o distanza infinito, è una distanza.
Non riesco a capire come dimostrare la disuguaglianza triangolare.
$$\max_{i=1,...,n}{|x_i-y_i|}<=\max_{i=1,...,n}{|x_i-z_i|}+\max_{i=1,...,n}{|z_i-y_i|}$$

[apatriarca]

È sufficiente dimostrarlo per la dimensione \(1\) e poi generalizzarlo in qualche modo al caso generale. In cosa incontri esattamente difficoltà?

[la.spina.simone]

Nel dimostrare la disuguaglianza di cui sopra... non riesco a trovare nulla che contemporaneamente maggiori il primo termine e sia minorante del secondo. Ho provato a usare la media, la somma di tutte le componenti, ma o va bene da una parte o dall'altra. In dimensione 1 diventa semplicemente la distanza euclidea. Il problema è che estendendolo a n dimensioni, non ho alcun modo di sapere su quali componenti la differenza sia massima, e se provo a usare Minkowsky (facendo tendere a infinito l'esponente) non ho strumenti per dimostrare che il limite tende proprio al max

[vict85]

In realtà utilizza un metodo abbastanza standard:

\begin{align} \lVert x-y\rVert_{\infty} &= \max_i\lvert x_i - y_i \rvert \\
&= \max_i\lvert x_i -z_i + z_i - y_i \rvert \\
&\le \max_i\bigl(\lvert x_i - z_i \rvert + \lvert z_i - y_i \rvert\bigr) \\
&\le \max_i\lvert x_i - z_i \rvert + \max_j\lvert z_j - y_j \rvert \\
&\le \lVert x-z\rVert_{\infty} + \lVert z-y\rVert_{\infty}
\end{align}

Nota che però il passaggio \(\lvert x_i -z_i + z_i - y_i \rvert \le \lvert x_i - z_i \rvert + \lvert z_i - y_i \rvert\) potresti doverlo dimostrare, suppur sia piuttosto banale (basta considerare i casi). La differenza tra la terza è la quarta riga consiste nel fatto che nel primo caso c'é un solo indice e nel secondo due. Variandoli entrambi si hanno valori maggiori o uguali rispetto a variandone uno solo.