Introduzione alle applicazioni lineari
salve quest'oggi ho visto un introduzione sulle applicazioni lineari.
Ma gia alla prima pagina ho avuto difficolta.... vi spiego meglio:
$V=P_3[x]$
${x^3, x^2, x, 1}$ formano una base di $P_3[x]$
sotto c'è un esempio:
ve lo copio pari pari
${x^3+1;x^2-x;2x;3}$ è una base di $P_3[x]$ dove
$vec(e_1)= x^3+1 $
$vec(e_2)= x^2-x $
$vec(e_3)=2x $
$vec(e_4)= 3$
fin qua ci sono ... poi arriva il dilemma... nel senso che non ho proprio capito da qui come abbia potuto scrivere:
$x^3+x^2-4x+1 = 1(x^3+1)+1(x^2-x)+[-3]/[2](2x)+0*3$
e quindi
$1*vec(e_1)+1*vec(e_2)-[3]/[2]*vec(e_3)+0*vec(e_4)$
mi è piu o meno tutto chiaro ma quello che non riesco a capire è il primo passaggio... cioe come fa a passare da
${x^3+1;x^2-x;2x;3}$ a $x^3+x^2-4x+1$ ???
poi il resto l'ho capito ...
Grazie
Ma gia alla prima pagina ho avuto difficolta.... vi spiego meglio:
$V=P_3[x]$
${x^3, x^2, x, 1}$ formano una base di $P_3[x]$
sotto c'è un esempio:
ve lo copio pari pari
${x^3+1;x^2-x;2x;3}$ è una base di $P_3[x]$ dove
$vec(e_1)= x^3+1 $
$vec(e_2)= x^2-x $
$vec(e_3)=2x $
$vec(e_4)= 3$
fin qua ci sono ... poi arriva il dilemma... nel senso che non ho proprio capito da qui come abbia potuto scrivere:
$x^3+x^2-4x+1 = 1(x^3+1)+1(x^2-x)+[-3]/[2](2x)+0*3$
e quindi
$1*vec(e_1)+1*vec(e_2)-[3]/[2]*vec(e_3)+0*vec(e_4)$
mi è piu o meno tutto chiaro ma quello che non riesco a capire è il primo passaggio... cioe come fa a passare da
${x^3+1;x^2-x;2x;3}$ a $x^3+x^2-4x+1$ ???
poi il resto l'ho capito ...
Grazie
Risposte
Ha preso un elemento particolare di \(\displaystyle P_3[x] \) e ha mostrato come è possibile esprimerlo come somma di elementi della base. In altre parole l’ha associato all’elemento \(\displaystyle (1,\ 1,\ -3/2,\ 0) \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \).
In ogni caso il metodo che ha usato è il seguente.
\(\displaystyle P = x^3 + x^2 -4x + 1 \) possiede come addendo un monomio di 3 grado. Siccome l’unico che concorre a formare monomi di 3 grado è \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) ha sottratto 1 valora \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) a \(\displaystyle P \) trovando i polinomio \(\displaystyle P_1 = P - \mathbf{e}_1 = x^2 - 4x \)
Similmente ha notato che il coefficiente di secondo grado di \(\displaystyle P_1 \) è \(\displaystyle 1 \) allora ha sottratto a \(\displaystyle P_1 \) una volta \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) trovando il polinomio \(\displaystyle P_2 = P_1 - \mathbf{e}_2 = -3x \).
E ha concluso notanto che \(\displaystyle P_2 = -3/2\mathbf{e}_3 \).
In conclusione ha trovato che
\begin{align} -3/2\mathbf{e}_3 &= P_1 - \mathbf{e}_2 \\
-3/2\mathbf{e}_3 &= P - \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 \\
P &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 -3/2\mathbf{e}_3 \\
P &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 -3/2\mathbf{e}_3 + 0\mathbf{e}_4 \end{align}
Insomma, questo è come l’ha calcolato.
In ogni caso il metodo che ha usato è il seguente.
\(\displaystyle P = x^3 + x^2 -4x + 1 \) possiede come addendo un monomio di 3 grado. Siccome l’unico che concorre a formare monomi di 3 grado è \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) ha sottratto 1 valora \(\displaystyle \mathbf{e}_1 \) a \(\displaystyle P \) trovando i polinomio \(\displaystyle P_1 = P - \mathbf{e}_1 = x^2 - 4x \)
Similmente ha notato che il coefficiente di secondo grado di \(\displaystyle P_1 \) è \(\displaystyle 1 \) allora ha sottratto a \(\displaystyle P_1 \) una volta \(\displaystyle \mathbf{e}_2 \) trovando il polinomio \(\displaystyle P_2 = P_1 - \mathbf{e}_2 = -3x \).
E ha concluso notanto che \(\displaystyle P_2 = -3/2\mathbf{e}_3 \).
In conclusione ha trovato che
\begin{align} -3/2\mathbf{e}_3 &= P_1 - \mathbf{e}_2 \\
-3/2\mathbf{e}_3 &= P - \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 \\
P &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 -3/2\mathbf{e}_3 \\
P &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 -3/2\mathbf{e}_3 + 0\mathbf{e}_4 \end{align}
Insomma, questo è come l’ha calcolato.
"vict85":
\(\displaystyle P = x^3 + x^2 -4x + 1 \) possiede come addendo un monomio di 3 grado.
Grazie per la risposta, il fatto e' che non ho capito come abbia fatto a partire da $ x^3 + x^2 -4x + 1$
da dove sbuca?
ha prima trovato il primo membro dell uguaglianza (quello di sinistra) e poi ha scritto quello di destra o il contrario?
perche io non ho capito il primo membro ... il secondo si,...
oppure $ x^3 + x^2 -4x + 1$ l'ha scelto a caso e poi ha dimostrato com'è possibile esprimerlo con gli elementi della base?
"giogiomogio":
[quote="vict85"]
\(\displaystyle P = x^3 + x^2 -4x + 1 \) possiede come addendo un monomio di 3 grado.
Grazie per la risposta, il fatto e' che non ho capito come abbia fatto a partire da $ x^3 + x^2 -4x + 1$
da dove sbuca?
ha prima trovato il primo membro dell uguaglianza (quello di sinistra) e poi ha scritto quello di destra o il contrario?
perche io non ho capito il primo membro ... il secondo si,...[/quote]
È un polinomio a caso.
posso scegliere infiniti $P_3[x]$ a caso e riusciro' sempre ad esprimerli con gli elementi della base? (con la base dell'esempio ovviamente). ??
Quindi se ho capito bene... attraverso questa base posso esprirmere qualsiasi spazio vettoriale avente $3$ dimensioni... cioe attraverso questa base posso esprimere qualsiasi $P_3[x]=V=$spazio vettoriale a $3$ dimensioni. giusto?
quindi è questa l'importanza che si e' voluta dimostrare?
Quindi se ho capito bene... attraverso questa base posso esprirmere qualsiasi spazio vettoriale avente $3$ dimensioni... cioe attraverso questa base posso esprimere qualsiasi $P_3[x]=V=$spazio vettoriale a $3$ dimensioni. giusto?
quindi è questa l'importanza che si e' voluta dimostrare?
No, questa è una particolare base di \(\displaystyle P_3[x] \) quindi ogni elemento di \(\displaystyle P_3[x] \) può essere espresso come combinazione lineare (somma pesata se preferisci) di elementi della base. In realtà questa scrittura risulta anche unica. Attraverso applicazioni lineari potrai passare da uno spazio vettoriale ad un altro e quindi vedere ogni spazio vettoriale di 3 dimensioni come se fosse \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \).
"vict85":
No, questa è una particolare base di \(\displaystyle P_3[x] \)
\(\displaystyle P_3[x] \) sarebbe uno spazio vettoriale giusto?
"vict85":
quindi ogni elemento di \(\displaystyle P_3[x] \) può essere espresso come combinazione lineare (somma pesata se preferisci) di elementi della base.
eh ma quindi se con la base posso esprimere ogni elemento di \(\displaystyle P_3[x] \) significa che grazie alla base posso esprimere quell insieme dei polinomi di \(\displaystyle P_3[x] \) che formerebbero quindi uno spazio vettoriale no?
"giogiomogio":
\(\displaystyle P_3[x] \) sarebbe uno spazio vettoriale giusto?
\(\displaystyle P_3[x] \) ha una somma e una moltiplicazione per uno scalare ben definite. Inoltre la moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma. Perciò è uno spazio vettoriale. Ogni caso che rispetta queste caratteristiche è uno spazio vettoriale.
Lo spazio dei polinomi, per esempio, è esso stesso uno spazio vettoriale (di dimensione numerabile). Lo spazio delle funzioni continue su un intervallo chiuso è uno spazio vettoriale (ha come dimensione la cardinalità del continuo). L'esistenza di una base in questo caso richiede, se non sbaglio, l’assioma della scelta.
"giogiomogio":
eh ma quindi se con la base posso esprimere ogni elemento di \(\displaystyle P_3[x] \) significa che grazie alla base posso esprimere quell insieme dei polinomi di \(\displaystyle P_3[x] \) che formerebbero quindi uno spazio vettoriale no?
Non vi sono polinomi in \(\displaystyle P_3[x] \) non esprimibili usando combinazioni lineari di elementi di quella base. E la ragione è che è una base. Una base è definita come un insieme di vettori linearmente indipendenti tali che ogni elemento dello spazio vettoriale è esprimibile in maniera unica come combinazione lineare di quegli elementi.
Dovresti guardarti meglio le definizioni, non mi sembra che i tuoi dubbi siano sull’esempio.
quindi posso esprimere qualsiasi $P_3[x]$ attraverso quella base giusto?
e l'utilità di tutto ciò dove risiede? per cosa potrebbe farmi comodo?
continuando le dispense ho trovato subito dopo questa cosa:
purtroppo devo metterci l'immagine perche non saprei come riscriverla in quanto ha usato numeri cerchiati:
perche, in questo caso non è una base?
e poi non capisco come mai ha fatto
$vec(e)_1+vec(e)_2+1/7vec(e)_4=3$ cosa significa questa uguaglianza? e perche ha imposto che dev'essere $=3$ ???
non riesco a capire perche non è una base e cosa centra quell'uguaglianza.
cioe i ragionamenti.
Dispense scritte con i piedi davvero!
e l'utilità di tutto ciò dove risiede? per cosa potrebbe farmi comodo?
continuando le dispense ho trovato subito dopo questa cosa:
purtroppo devo metterci l'immagine perche non saprei come riscriverla in quanto ha usato numeri cerchiati:
perche, in questo caso non è una base?
e poi non capisco come mai ha fatto
$vec(e)_1+vec(e)_2+1/7vec(e)_4=3$ cosa significa questa uguaglianza? e perche ha imposto che dev'essere $=3$ ???
non riesco a capire perche non è una base e cosa centra quell'uguaglianza.
cioe i ragionamenti.
Dispense scritte con i piedi davvero!
All’inizio della sezione di geometria di questo forum c’è una discussione chiamata ‘algebra lineare for dummies’. Ti suggerisco di leggerla.
Ciao vict85 ho letto fino al capitolo 2.1
ma non parla di basi o meglio come capire se e' una base oppure no di un determinato $P_n[x]$
ma non parla di basi o meglio come capire se e' una base oppure no di un determinato $P_n[x]$
Non hai letto bene si vede, i paragrafi 1.3 e 1.4 sono su quello. Certo non parlano di $P_n[x]$, che è solo un esempio che non incontrerai spesso nella vita, ma di cos'é una combinazione lineare e una base si. Quelli sono gli appunti presi da uno del forum in un corso di algebra lineare, quello che dovrai sapere sarà quello più qualcosa in più, che trovi nei manuali.
Comunque penso che quelle che tu chiami dispense siano solo delle slide. Perché mi sembra evidente che richiedano un supporto audio.
Comunque penso che quelle che tu chiami dispense siano solo delle slide. Perché mi sembra evidente che richiedano un supporto audio.
no no ti assicuro che sono solo delle slide niente audio, ci e' stato cambiato il docente durante il secondo semestre e da li addio ... non si capisce piu niente.
ma io so cosa è una base e conosco anche l'indipendenza tra vettori... sono cose che ho studiato e i miei test sono andati discretamente bene.
Non riuscivo a capire perche quella nell immagine non è una base.
ho riletto e in effetti si non avevo visto che c'erano delle analogie inerenti a quello che stavo cercando.
in pratica gli elementi della base devo essere indipendenti fra loro perche seno' avrei infinite possibilta di esprimere un vettore attraverso la base... mentre invece bisogna esprimerlo in maniera univoca. Ecco perche esistono le basi.
ma al di la di questo non capisco ancora perche quella non e' un base... cioe come ha fatto a verificarlo...
--edit--
forse ho capito
non è una base perche i 4 elementi non sono indipendenti fra loro.
infatti il terzo elemento è esprimibile come combiniazione del primo + il secondo + $1/7$ del terzo
per tale ragione non è una base
è possibile?
ma io so cosa è una base e conosco anche l'indipendenza tra vettori... sono cose che ho studiato e i miei test sono andati discretamente bene.
Non riuscivo a capire perche quella nell immagine non è una base.
ho riletto e in effetti si non avevo visto che c'erano delle analogie inerenti a quello che stavo cercando.
in pratica gli elementi della base devo essere indipendenti fra loro perche seno' avrei infinite possibilta di esprimere un vettore attraverso la base... mentre invece bisogna esprimerlo in maniera univoca. Ecco perche esistono le basi.
ma al di la di questo non capisco ancora perche quella non e' un base... cioe come ha fatto a verificarlo...
--edit--
forse ho capito
non è una base perche i 4 elementi non sono indipendenti fra loro.
infatti il terzo elemento è esprimibile come combiniazione del primo + il secondo + $1/7$ del terzo
per tale ragione non è una base
è possibile?
Si, è per quello. Comunque quelle mi continuano a sembrare slide, anche se lui non vi ha fornito l'audio.
si sono slide ma senza audio...
ma le ha scritte lui a mano.
ci sono esempi e basta.
purtroppo l'altro docente ha avuto un malore e ce l'hanno sostituito con questo svampito.
senza le spiegazioni che mi hai linkato non avrei mai capito
grazie ancora
ma le ha scritte lui a mano.
ci sono esempi e basta.
purtroppo l'altro docente ha avuto un malore e ce l'hanno sostituito con questo svampito.
senza le spiegazioni che mi hai linkato non avrei mai capito
grazie ancora
Prego. Anche se il merito è più che altro di chi ha scritto gli appunti.
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