Domanda su matrici diagonali

[pippuz1]

Data una certa applicazione lineare $f$ : $\mathbb {R}^3$ $->$ $\mathbb {R}^3$ diagonalizzabile è possibile trovare 4 matrici diagonali distinte tutte associate alla stessa $f$? Se sì, come?

Grazie.

[vict85]

No, non è possibile. Più di tre non è possibile.

[pippuz1]

Potresti dirmi qual'è la base di teoria per poterlo affermare? Sto spulciando appunti su appunti ma non trovo nulla di utile.

EDIT: Forse ho capito cosa intendi, correggimi se sbaglio. Tale $f$ ha 2 autovalori, uno con molteplicità algebrica pari a 2. Ho verificato le dimensioni degli autospazi ($f$ è diagonalizzabile) e ho ottenuto una base di autovettori. Scambiando le colonne della matrice costruita mettendo in colonna tali autovettori posso arrivare a costruire solo 3 matrici diagonali simili ad A ovvero [supponiamo che gli autovalori siano 1(m=2) e 2(m=1)] quelle che hanno sulla diagonale principale rispettivamente 1,1,2; 1,2,1; 2,1,1. Spero di non avere scritto troppe ca**ate

[vict85]

Ripensandoci il numero totale massimo raggiungibile è 6, dato dalle 6 permutazioni degli autovalori. D'altra parte non tutti i valori intermedi sono raggiungibili.

Se c’è un solo autovalore si ha una sola possibilità. Se ce ne sono 2 allora uno dei due autovalori avrà molteplicità due. Questo significa che le possibilità sono 3, una per ogni posizione dell'altro autovalore. Nel caso siano tutti distinti ce ne sono 6.

Spero di aver risposto ai tuoi dubbi. In ogni caso gli elementi della diagonale non cambiano, ciò che cambia è solo il loro ordine.

[pippuz1]

Quindi pur avendo una base di autovettori ma solo 2 autovalori distinti (uno ha molteplicità 2) posso al massimo arrivare a 3, corretto?

Grazie per la precisazione

[vict85]

Si, la matrice è la stessa.