Matrici non simili con gli stessi autovalori
Spero che qualcuno possa aiutarmi con questo esercizio:
Data l'applicazione lineare $f$ : $\mathbb {R}^3$ $->$ $\mathbb {R}^3$ associata alla seguente matrice: $( ( 3 , 1 , 1 ),( 0 , 6 , 3 ),( 0 , -3 , 0 ) )$
a) Calcolare gli autovalori e almeno un autospazio
b) Si stabilisca se $f$ è diagonalizzabile
c) Si determini, se possibile, una matrice B con gli stessi autovalori di A tale che B non sia simile ad A
Ho calcolato gli autovalori: $lambda$ = 3 con molteplicità 3 (3 autovalori coincidenti) e l'autospazio relativo.
$f$ non è diagonalizzabile perchè la molteplicità algebrica non è corrispondente a quella geometrica, infatti la dimensione dell'autospazio è 2.
Il mio problema sta nel punto c):
E' possibile costruire B che soddisfi la richiesta? Se sì, come?
Grazie in anticipo.
Data l'applicazione lineare $f$ : $\mathbb {R}^3$ $->$ $\mathbb {R}^3$ associata alla seguente matrice: $( ( 3 , 1 , 1 ),( 0 , 6 , 3 ),( 0 , -3 , 0 ) )$
a) Calcolare gli autovalori e almeno un autospazio
b) Si stabilisca se $f$ è diagonalizzabile
c) Si determini, se possibile, una matrice B con gli stessi autovalori di A tale che B non sia simile ad A
Ho calcolato gli autovalori: $lambda$ = 3 con molteplicità 3 (3 autovalori coincidenti) e l'autospazio relativo.
$f$ non è diagonalizzabile perchè la molteplicità algebrica non è corrispondente a quella geometrica, infatti la dimensione dell'autospazio è 2.
Il mio problema sta nel punto c):
E' possibile costruire B che soddisfi la richiesta? Se sì, come?
Grazie in anticipo.
Risposte
Basta prendere \(B\) diagonalizzabile: infatti, dato che \(A\) non lo è, una siffatta \(B\) non può essere simile ad \(A\).
E quali sono le più semplici matrici diagonalizzabili presenti sul mercato?
E quali sono le più semplici matrici diagonalizzabili presenti sul mercato?
Vediamo se riesco a scrivere un'eresia di quelle grosse..
Studio da ore e non sono molto fresco, penso che me le sognerò queste dannate applicazioni lineari
Per caso intendi la matrice che ha gli autovalori sulla diagonale?
Studio da ore e non sono molto fresco, penso che me le sognerò queste dannate applicazioni lineari
Per caso intendi la matrice che ha gli autovalori sulla diagonale?
"pippuz":
Per caso intendi la matrice che ha gli autovalori sulla diagonale?
Certo!
Insomma, prendi:
\[
B=\begin{pmatrix} 3& 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} =3\ I
\]
e sei a cavallo.
Grazie! 
Che fesso a non arrivarci prima, mi sa che è il caso che molli tutto e vada a dormire, non connetto più
Che fesso a non arrivarci prima, mi sa che è il caso che molli tutto e vada a dormire, non connetto più
Aggiungo che, usando le forme canoniche di Jordan, un argomento un po’ trascurato nei corsi di algebra lineare, arrivi al risultato che, a meno di similitudini, ci sono tre matrici con 3 autovalori uguali:
\[A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]
\[A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]
\[A_3 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]
La tua matrice è simile ad \(\displaystyle A_2 \).
P.S.: In realtà il risultato è valido per un campo algebricamente chiuso ma penso valga anche in questo caso particolare.
\[A_1 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]
\[A_2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]
\[A_3 = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\]
La tua matrice è simile ad \(\displaystyle A_2 \).
P.S.: In realtà il risultato è valido per un campo algebricamente chiuso ma penso valga anche in questo caso particolare.
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