Omeomorfi??
Ciao a tutti,
avevo questo problema da porvi! Sia \( X_{1} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad \mid x \mid < 1\} \quad \text{e sia} X_{2} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad \mid x \mid \le 1\} \)
sia ora \( Y = \mathbb{R}^{2} \smallsetminus {(0,0)} \quad \text{e} \quad Z_{1} = X_{1} \cap Y \quad \text{e} \quad Z_{2} = X_{2} \cap Y \)
a) esiste un omeomorfismo fra \( Y \quad \text{e} \quad Z_{1} \) ?
b) esiste un omeomorfismo fra \( X_{1} \quad \text{e} \quad X_{2} \) ?
c) esiste un omeomorfismo fra \( Y \quad \text{e} \quad Z_{2} \) ?
grazie in anticipo per le risposte!!
avevo questo problema da porvi! Sia \( X_{1} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad \mid x \mid < 1\} \quad \text{e sia} X_{2} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^{2} \quad \text{t.c.} \quad \mid x \mid \le 1\} \)
sia ora \( Y = \mathbb{R}^{2} \smallsetminus {(0,0)} \quad \text{e} \quad Z_{1} = X_{1} \cap Y \quad \text{e} \quad Z_{2} = X_{2} \cap Y \)
a) esiste un omeomorfismo fra \( Y \quad \text{e} \quad Z_{1} \) ?
b) esiste un omeomorfismo fra \( X_{1} \quad \text{e} \quad X_{2} \) ?
c) esiste un omeomorfismo fra \( Y \quad \text{e} \quad Z_{2} \) ?
grazie in anticipo per le risposte!!
Risposte
Non hai proprio alcuna idea su come si possa risolvere l'esercizio?
stavo vedendo le caratteristiche di connessione e compattezza, ma non risolvo nulla :S
al massimo mi viene in mente che la domanda a sia vera, "perchè si vede", ma non riesco a spiegarlo!
al massimo mi viene in mente che la domanda a sia vera, "perchè si vede", ma non riesco a spiegarlo!
E perché dici che si vede? Che cosa te lo fa dire? Riesci per esempio a "visualizzare" un omeomorfismo tra i due spazi?
una restrizione su Z1, ovvero restringere l'intero piano meno un punto, sulla fascia di piano compresa fra -1, 1.. ma l'idea si ferma lì!
Non mi è chiaro che cosa tu intenda con "restrizione" in questo caso. Una restrizione, nel senso in cui ho sempre visto usare tale termine, non determina un omeomorfismo. Piuttosto puoi usare qualcosa come la tangente, cioè sfruttare una mappa tipo \( (x, y) \mapsto (\tan(\pi\,x/2), y). \)
Dovresti analizzare correttamente i due insiemi il primo è un aperto il secondo è un chiuso, le rispettive intersezioni con Y sono a loro volta Z1 e Z2 che sono un aperto e l'altro ancora chiuso! Tra X1 e X2 non vi sarà sicuramente un omeomorfismo perchè per definizione un omeomorfismo manda aperti in aperti! e neanche tra Y e Z2 perchè Y è un aperto mentre Z2 non lo è! Si può ragionare anche così.. 
Lavorare con aperti e chiusi è spesso ingannevole. Ogni sottospazio è aperto e chiuso nella propria topologia indotta. L’unica cosa che tu dici riferendoti ai vari sottospazi considerati come aperti e chiusi è che non esiste una funzione continua definita su tutto \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) che manda uno spazio nell’altro.
Nel secondo punto esiste un invariante topologico serio che fa funzionare le cose: la compattezza. \(\displaystyle X_2 \) infatti è l’unico di quegli insiemi che è compatto.
Tra l’altro \(\displaystyle Z_2 \) non è né chiuso né aperto in \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) ed è un aperto nella topologia indotta di \(\displaystyle X_2 \) (gli spazi non devono essere per forza aperti o chiusi). \(\displaystyle Z_1 \) è invece ovviamente un aperto sia in \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) che in \(\displaystyle X_1 \).
L’omeomorfismo tra \(\displaystyle Y \) e \(\displaystyle Z_1 \) è ovviamente indotto da ogni omeomorfismo tra \(\displaystyle X_1 \) e \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) che fissi l’origine. Ogni possibilità va bene e ne esistono tantissime.
Il secondo punto l’ho già discusso prima.
Il terzo ci devo pensare.
Nel secondo punto esiste un invariante topologico serio che fa funzionare le cose: la compattezza. \(\displaystyle X_2 \) infatti è l’unico di quegli insiemi che è compatto.
Tra l’altro \(\displaystyle Z_2 \) non è né chiuso né aperto in \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) ed è un aperto nella topologia indotta di \(\displaystyle X_2 \) (gli spazi non devono essere per forza aperti o chiusi). \(\displaystyle Z_1 \) è invece ovviamente un aperto sia in \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) che in \(\displaystyle X_1 \).
L’omeomorfismo tra \(\displaystyle Y \) e \(\displaystyle Z_1 \) è ovviamente indotto da ogni omeomorfismo tra \(\displaystyle X_1 \) e \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) che fissi l’origine. Ogni possibilità va bene e ne esistono tantissime.
Il secondo punto l’ho già discusso prima.
Il terzo ci devo pensare.
Ok, forse mi è venuto un modo per farlo, anche se non penso sia proprio il più semplice.
\(\displaystyle Z_2 \cong Y\sqcup S^1 \) dove \(\displaystyle \sqcup \) lo uso per indicare l’unione disgiunta. Se si avesse per assurdo \(\displaystyle Z_2 \cong Y \) allora, per transitività, \(\displaystyle Y\cong Y\sqcup S^1 \). D’altra parte, per il teorema della curva di jordan, ogni immagine omeomorfa di \(\displaystyle S^1 \) in \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) divide \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) in almeno due componenti connesse. Perciò \(\displaystyle Y-S^1 \) è sempre sconnesso e pertanto non può mai essere omeomorfo a \(\displaystyle Y \).
Probabilmente si può fare in un modo più semplice.
\(\displaystyle Z_2 \cong Y\sqcup S^1 \) dove \(\displaystyle \sqcup \) lo uso per indicare l’unione disgiunta. Se si avesse per assurdo \(\displaystyle Z_2 \cong Y \) allora, per transitività, \(\displaystyle Y\cong Y\sqcup S^1 \). D’altra parte, per il teorema della curva di jordan, ogni immagine omeomorfa di \(\displaystyle S^1 \) in \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) divide \(\displaystyle \mathbf{R}^2 \) in almeno due componenti connesse. Perciò \(\displaystyle Y-S^1 \) è sempre sconnesso e pertanto non può mai essere omeomorfo a \(\displaystyle Y \).
Probabilmente si può fare in un modo più semplice.
\(X_2\) non è compatto. È infatti chiuso ma illimitato lungo l'asse \(y\). Piuttosto è il prodotto tra il compatto \([-1, 1]\) e \(\mathbb R\). Se i due spazi fossero omeomorfi, allora anche \(X_1\) dovrebbe essere un prodotto di questo tipo con proiezioni \( \pi_1\,f \) e \( \pi_2\,f\) dove \( \pi_i \) è la proiezione sull'\(i\)-esimo fattore di \(X_2\).. Ma \(X_2\) è omeomorfo a \(\mathbb R^2\) e non è certamente il prodotto tra un compatto e qualcosa omeomorfo alla retta reale.
Ok, avevo letto male e pensato \(\displaystyle X_1\) e \(X_2 \) fosse il cerchio aperto e chiuso. Errore mio .
"apatriarca":
\(X_2\) non è compatto. È infatti chiuso ma illimitato lungo l'asse \(y\). Piuttosto è il prodotto tra il compatto \([-1, 1]\) e \(\mathbb R\). Se i due spazi fossero omeomorfi, allora anche \(X_1\) dovrebbe essere un prodotto di questo tipo con proiezioni \( \pi_1\,f \) e \( \pi_2\,f\) dove \( \pi_i \) è la proiezione sull'\(i\)-esimo fattore di \(X_2\).. Ma \(X_2\) è omeomorfo a \(\mathbb R^2\) e non è certamente il prodotto tra un compatto e qualcosa omeomorfo alla retta reale.
ok, ci sono su come sia fatto X2, e sulle proiezioni.. ma poi mi perdo! perché X2 è omeomorfo a R2?
"fabjolie":
[quote="apatriarca"]\(X_2\) non è compatto. È infatti chiuso ma illimitato lungo l'asse \(y\). Piuttosto è il prodotto tra il compatto \([-1, 1]\) e \(\mathbb R\). Se i due spazi fossero omeomorfi, allora anche \(X_1\) dovrebbe essere un prodotto di questo tipo con proiezioni \( \pi_1\,f \) e \( \pi_2\,f\) dove \( \pi_i \) è la proiezione sull'\(i\)-esimo fattore di \(X_2\).. Ma \(X_2\) è omeomorfo a \(\mathbb R^2\) e non è certamente il prodotto tra un compatto e qualcosa omeomorfo alla retta reale.
ok, ci sono su come sia fatto X2, e sulle proiezioni.. ma poi mi perdo! perché X2 è omeomorfo a R2?[/quote]
Semmai, nelle tue notazioni, $X_1$; e la risposta e' che $X_1 = ]-1,1[\times\mathbb R$, che e' omeomorfo a $\mathbb R\times\mathbb R$ (ad esempio per la funtorialita' di $-\times\mathbb R$, ma anche per motivi meno apocalittici, i quali saranno sempre nascostamente un modo di rifrasare questo
).Per un omeomorfismo tra $Y$ e $Z_1$, puoi usare il precedente $\varphi : X_1\to \mathbb R^2$: basta che togli $\varphi(0,0)$; $X_1$ e $X_2$ non sono omeomorfi perche' se togli un punto del tipo $p=(1,y)$ al secondo e restringi un ipotetico isomorfismo $X_2\to X_1$, ottieni un isomorfismo da un semplicemente connesso a qualcosa omotopicamente equivalente a un cerchio, assurdo. Stesso motivo, un po' rimaneggiato, e vedi che non esiste un isomorfismo tra $Y$ e $Z_2$.
Rileggendo, sembra in effetti che abbia fatto qualche confusione con gli indici verso la fine del post. 
Ovviamente intendevo dire che \(X_1\) è omeomorfo a \(\mathbb R^2\) e la cosa mi sembrava abbastanza evidente.
Ovviamente intendevo dire che \(X_1\) è omeomorfo a \(\mathbb R^2\) e la cosa mi sembrava abbastanza evidente.
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