Definizione di opposto di un omomorfismo tra spazi vettoriali

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
vorrei soltanto una conferma, purtroppo il mio libro lo cita a sproposito senza dare una definizione ed io vorrei soltanto una conferma:

"Definizone":siano dati \( f: E \to F \) un elemento di \( Hom_K(E,F)\), \( a \in K \), ed \( a \cdot f : E \to F \), dicesi che \( a \cdot f \) è opposto di \( f \), ed indicasi con la scrittura \( -f: E \to F \), se \( a = (-1) \)

Ringrazio anticipatamente!!

Cordiali saluti

[vict85]

L'opposto di una applicazione lineare è l'opposto di quest’ultima nello spazio vettoriale dei morfismi lineari. Quindi indicativamente è come dici tu. Di fatto però quello che definisci è lo spazio vettoriale e poi il concetto di opposto viene da solo.

[garnak.olegovitc1]

Salve vict85,

"vict85":L'opposto di una applicazione lineare è l'opposto di quest’ultima nello spazio vettoriale dei morfismi lineari. Quindi indicativamente è come dici tu. Di fatto però quello che definisci è lo spazio vettoriale e poi il concetto di opposto viene da solo.

quindi apporteresti qualche modifica alla mia definizione? Se si come? Ti ringrazio della risposta!!

Cordiali saluti

[vict85]

Siano \(\displaystyle f,g\in Hom_K(E,F) \) definisco la loro somma come l'elemento \(\displaystyle h\in Hom_K(E,F) \) definito come \(\displaystyle h(x) = f(x) + g(x) \). Che sia un'applicazione lineare è evidente.

Sia \(\displaystyle f \in Hom_K(E,F) \), definisco \(\displaystyle af \) come l'applicazione lineare \(\displaystyle h\in Hom_K(E,F) \) definita come \(\displaystyle h(x) = af(x) \). Anche in questo caso la dimostrazione è semplice.

A questo punto si fa vedere che con queste operazioni \(\displaystyle Hom_K(E,F) \) è uno spazio vettoriale. L'opposto è semplicemente l'opposto rispetto alla somma.