Spettro di matrici
se $B$ è una matrice del tipo $alpha*I$ con $alpha in RR$, allora
$Lambda(A+B)= Lambda(A) + Lambda(B)$, dove $Lambda$ è lo spettro di $A$
vi sono altri tipi di $B$ affinchè valga quell'uguaglianza?
$Lambda(A*B)= Lambda(A)*Lambda(B)$ è mai vera? Se sì, sotto che condizioni su $B$.
grazie
$Lambda(A+B)= Lambda(A) + Lambda(B)$, dove $Lambda$ è lo spettro di $A$
vi sono altri tipi di $B$ affinchè valga quell'uguaglianza?
$Lambda(A*B)= Lambda(A)*Lambda(B)$ è mai vera? Se sì, sotto che condizioni su $B$.
grazie
Risposte
Il problema é mal posto.
Non scrivere $\Lambda(A)+\Lambda(B)$ perché sono due insiemi, cosa significa sommarli? Se \(B=\alpha I\), allora \(\Lambda(B)=\{\alpha\}\), nel qual caso
\[
\Lambda(A+\alpha I)=\{\lambda +\alpha\ :\ \lambda \in \Lambda(A)\}.\]
Ma se \(\Lambda(B)\) contiene vari elementi, non é chiaro in che ordine prenderli per sommarli agli elementi di \(\Lambda(A)\).
Stessa cosa per il prodotto.
Non scrivere $\Lambda(A)+\Lambda(B)$ perché sono due insiemi, cosa significa sommarli? Se \(B=\alpha I\), allora \(\Lambda(B)=\{\alpha\}\), nel qual caso
\[
\Lambda(A+\alpha I)=\{\lambda +\alpha\ :\ \lambda \in \Lambda(A)\}.\]
Ma se \(\Lambda(B)\) contiene vari elementi, non é chiaro in che ordine prenderli per sommarli agli elementi di \(\Lambda(A)\).
Stessa cosa per il prodotto.
Prova a dirlo a parole allora: date due matrici, quando lo spettro della somma della matrici è uguale alla unione degli spettri?
Stessa cosa per il prodotto
Stessa cosa per il prodotto
Non credo sia questo ció che vuoi dire. L'unione degli spettri non c'entra niente. Lo spettro di \(I\) é \(\{1\}\), lo spettro di \(2I\) é \(\{2\}\), l'unione dei due spettri é \(\{1, 2\}\), ma lo spettro della somma é \(\{3\}\).
La mia domanda è.
Ho 2 matrici $A$ e $B$ e ne calcolo separatamente gli spettri.
Quando essi, considerandone l'unione,sono uguali allo spettro della matrice $C=A+B$?
Ho 2 matrici $A$ e $B$ e ne calcolo separatamente gli spettri.
Quando essi, considerandone l'unione,sono uguali allo spettro della matrice $C=A+B$?
Hai semplicemente riscritto la domanda del tuo post precedente. A questa domanda ho giá risposto.
Ripeto: l'unione degli spettri non c'entra nulla. Anche nel caso basilare di \(A=I, B=2I\), la risposta alla tua domanda é negativa, come ho giá scritto nel post precedente. Addirittura, immagino che la risposta alla tua domanda sia positiva se e solo se \(A=0\) oppure \(B=0\), il caso banale. Ma non ha molto senso pensarci. Questa tua domanda é mal posta e non ha a che vedere con il risultato che citi nel primo post (ovvero, il risultato secondo cui lo spettro di \(I+A\) é \(\{1+\lambda\, :\, \lambda\in \Lambda(A)\}\)).
Ripeto: l'unione degli spettri non c'entra nulla. Anche nel caso basilare di \(A=I, B=2I\), la risposta alla tua domanda é negativa, come ho giá scritto nel post precedente. Addirittura, immagino che la risposta alla tua domanda sia positiva se e solo se \(A=0\) oppure \(B=0\), il caso banale. Ma non ha molto senso pensarci. Questa tua domanda é mal posta e non ha a che vedere con il risultato che citi nel primo post (ovvero, il risultato secondo cui lo spettro di \(I+A\) é \(\{1+\lambda\, :\, \lambda\in \Lambda(A)\}\)).
Grazie, avrò capito male io la richiesta del docente.
Grazie lo stesso dell'aiuto
Grazie lo stesso dell'aiuto
"GuidoFretti":
Grazie, avrò capito male io la richiesta del docente.
Secondo me la tua domanda é incompleta, devi specificare bene cosa intendi per $\Lambda(A)+\Lambda(B)$ e per $\Lambda(A)\cdot \Lambda(B)$. Questo peró il docente deve averlo fatto, anche se tu non ne fai menzione.
Secondo me è chiaro che per somma e prodotto di due insiemi $X$ e $Y$ si intende
$X+Y={x+y\ :\ x in X, y in Y}$
$XY={xy\ :\ x in X, y in Y}$
$X+Y={x+y\ :\ x in X, y in Y}$
$XY={xy\ :\ x in X, y in Y}$
Ciao Martino, certo, sono d'accordo. Ma sarebbe stato bello se questa considerazione l'avesse fatta Guido.
Scusa 
è che mi pareva che Guido avesse rinunciato.
è che mi pareva che Guido avesse rinunciato.
Era proprio andata cosi!
Però sostanzialmente il concetto che intendevo è questo
Però sostanzialmente il concetto che intendevo è questo
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