Polinomio caratteristico
Buongiorno,
sto provando a svolgere questo esercizio:
Sia $A$ una matrice con polinomio caratteristico $\lambda^2$ + $\3*lambda$ + $2$. Quale è il polinomio caratteristico di $A+7*I$ ? In generale, che relazione c’è tra il polinomio caratteristico di una matrice A e quello di $A+c*I$ ($c$ è uno scalare fissato)?
Stavo ragionando ( se non vado errato), in base alle proprietà del polinomio caratteristico della matrice di ordine 3 $A$:
$det(A)=2$
$tr(A)=-3$
Vi chiedo se sono fuori strada con impostazione o dovrei legare queste considerazioni a proprietà di determinante e traccia di $A+c*I$ (che al momento di mi risultano evidenti)?
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi.
sto provando a svolgere questo esercizio:
Sia $A$ una matrice con polinomio caratteristico $\lambda^2$ + $\3*lambda$ + $2$. Quale è il polinomio caratteristico di $A+7*I$ ? In generale, che relazione c’è tra il polinomio caratteristico di una matrice A e quello di $A+c*I$ ($c$ è uno scalare fissato)?
Stavo ragionando ( se non vado errato), in base alle proprietà del polinomio caratteristico della matrice di ordine 3 $A$:
$det(A)=2$
$tr(A)=-3$
Vi chiedo se sono fuori strada con impostazione o dovrei legare queste considerazioni a proprietà di determinante e traccia di $A+c*I$ (che al momento di mi risultano evidenti)?
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi.
Risposte
Io proverei a svolgere i calcoli, usando anche i dati noti!
E' molto carino come esercizio. Dove l'hai trovato?
P.S. Se non ho cannato i conti ci sono due soluzioni: $lambda^2-11lambda-(124+-28sqrt(2))=0$
P.S. Se non ho cannato i conti ci sono due soluzioni: $lambda^2-11lambda-(124+-28sqrt(2))=0$
Hai
\[
\chi_{A + c1}(X) = \det(X1 - (A +c1)) = \det((X - c)1 - A)
\] no? Ma allora
\[
\chi_{A + c1}(X + c) = \det(X1 - A) = \chi_A(X)\text{.}
\]
Qualcosa mi dice che ho scritto una cosa brutta, ma non ho voglia di pensare.
\[
\chi_{A + c1}(X) = \det(X1 - (A +c1)) = \det((X - c)1 - A)
\] no? Ma allora
\[
\chi_{A + c1}(X + c) = \det(X1 - A) = \chi_A(X)\text{.}
\]
Qualcosa mi dice che ho scritto una cosa brutta, ma non ho voglia di pensare.
"marco2132k":
Qualcosa mi dice che ho scritto una cosa brutta
Lo penso anch'io
Il problema è risolvibile univocamente solo perchè è una matrice 2x2 e si possono trarre alcune conclusioni per poi applicare Caley-Hamilton e risolvere l'equazione matriciale.
Eh sì ma dove?
"marco2132k":
Eh sì ma dove?
Il determinante non è lineare e non ci sono trasformazioni generali per $det(A+7I)$ (ma ce ne sono particolari).
L'operatore identità di $A+7I=B$ (considerando che è una matrice 2x2) è $B^2-tr(B)B+det(B)I=0$
Le relazioni fra A e B sono legate da esso.
P.S. Obiettivamente parlando, ritengo il teorema C-H uno dei più belli dell'algebra lineare, insieme al teorema spettrale e quello polare.
Tra poco forse arriva un mio post, che è tangenzialmente collegato a questa domanda. Tremate, oh algebristi lineari.
Purtroppo non ho mai dovuto usare il teorema di Hamilton-Cayley, quindi non l'ho mai studiato (shame on me); ma si può notare che
\[
p(A,\lambda)=\det(A-\lambda I)\\
p(A+cI,\lambda)=\det(A+cI-\lambda I)=\det[A-(\lambda-c)I]=p(A,\lambda-c)
\]
ove \(p(A,\lambda)\) è il polinomio caratteristico di \(A\) nella incognita \(\lambda\).
Nell'esercizio attuale, si ottiene che il polinomio cercato è:
\[
(\lambda-7)^2+3(\lambda-7)+2=\dotsc
\]
Torna tutto?
\[
p(A,\lambda)=\det(A-\lambda I)\\
p(A+cI,\lambda)=\det(A+cI-\lambda I)=\det[A-(\lambda-c)I]=p(A,\lambda-c)
\]
ove \(p(A,\lambda)\) è il polinomio caratteristico di \(A\) nella incognita \(\lambda\).
Nell'esercizio attuale, si ottiene che il polinomio cercato è:
\[
(\lambda-7)^2+3(\lambda-7)+2=\dotsc
\]
Torna tutto?
@j18eos
Torna tutto Armando!
Io mi sono lasciato affascinare da una strada diversa...ma ho sbagliato i conti
(edit: nel post successivo ci sono i conti e avevo erroneamente sostituto $A-7I$)
Torna tutto Armando!
Io mi sono lasciato affascinare da una strada diversa...ma ho sbagliato i conti
(edit: nel post successivo ci sono i conti e avevo erroneamente sostituto $A-7I$)
La strada che ho seguito è più tortuosa 
Da C-H sappiamo che $A^2+3A+2I=0 rArr A^2=-A-2I$ e vogliamo trovare:
$B^2-tr(B)B+det(B)I=0$ (1) dove $B=A+7I$
Conosciamo $Tr(B)=Tr(A)+14=-3+14=11$
Sostituendo in (1) si arriva all'equazione $[det(B)-30]I=0$ e applicando il determinante si arriva alla soluzione $det(B)=30$ quindi il pol. car. è $lambda^2-11lambda+30=0$
Da C-H sappiamo che $A^2+3A+2I=0 rArr A^2=-A-2I$ e vogliamo trovare:
$B^2-tr(B)B+det(B)I=0$ (1) dove $B=A+7I$
Conosciamo $Tr(B)=Tr(A)+14=-3+14=11$
Sostituendo in (1) si arriva all'equazione $[det(B)-30]I=0$ e applicando il determinante si arriva alla soluzione $det(B)=30$ quindi il pol. car. è $lambda^2-11lambda+30=0$
E va bene. Ma allora io che cosa ho sbagliato? Il risultato che mi veniva era uguale...
Mi sa che l'errore mio ha a che vedere con la dimostrazione "fasulla" del teorema di Hamilton e Cayley (tra un po', come ho detto, apro un thread dove ho intenzione di discutere proprio quella dimostrazione, assieme alla costruzione del polinomio caratteristico).
Mi sa che l'errore mio ha a che vedere con la dimostrazione "fasulla" del teorema di Hamilton e Cayley (tra un po', come ho detto, apro un thread dove ho intenzione di discutere proprio quella dimostrazione, assieme alla costruzione del polinomio caratteristico).
"marco2132k":A cosa ti riferisci?
[...]Ma allora io che cosa ho sbagliato?[...]
"j18eos":
A cosa ti riferisci?
Si riferisce al suo post nella pagina precedente.
È possibilissimo che abbia capito male io (la notazione che ha usato potrebbe significare una diversa da quella che ho interpretato io).
Sono curioso di sapere perché c'è l'abbia tanto con C-H!
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