Endomorfismo simmetrico e matrice associata
Salve,
Mi sono imbattuta in questo esercizio d'esame ma ho parecchi dubbi, soprattutto sul primo punto. Il testo è:
Sia f un endomorfismo di R3 con autovalore 1 e tale che f(1,0,1)=(2,0,2) e f(0,-1,2)=(3,1,1).
a) calcolare, se possibile, f(-1,-1,1).
b)è possibile che un tale endomorfismo f sia simmetrico? Se sì, se ne dia un esempio scrivendo in base canonica la matrice ad esso associata. Se no, si spieghi perché.
Per risolvere il punto a) ho notato innanzitutto che (-1,-1,1)=(0,-1,2)-(1,0,1) quindi i tre vettori non sono linearmente indipendenti, quindi non posso definire f in modo univoco e di conseguenza non posso calcolare f(-1,-1,1).
Adesso però mi serve un terzo vettore linearmente indipendente essendo in R3, allora ho preso quello della base canonica (1,0,0), e siccome il testo mi dice che f ha 1 come autovalore avrò f(1,0,0)=(1,0,0).
Per il secondo punto avrei applicato la definizione di endomorfismo simmetrico trovando che f non lo è; però non so se il procedimento per il punto a) possa andare bene e di conseguenza tutto il resto...
Grazie in anticipo!
Mi sono imbattuta in questo esercizio d'esame ma ho parecchi dubbi, soprattutto sul primo punto. Il testo è:
Sia f un endomorfismo di R3 con autovalore 1 e tale che f(1,0,1)=(2,0,2) e f(0,-1,2)=(3,1,1).
a) calcolare, se possibile, f(-1,-1,1).
b)è possibile che un tale endomorfismo f sia simmetrico? Se sì, se ne dia un esempio scrivendo in base canonica la matrice ad esso associata. Se no, si spieghi perché.
Per risolvere il punto a) ho notato innanzitutto che (-1,-1,1)=(0,-1,2)-(1,0,1) quindi i tre vettori non sono linearmente indipendenti, quindi non posso definire f in modo univoco e di conseguenza non posso calcolare f(-1,-1,1).
Adesso però mi serve un terzo vettore linearmente indipendente essendo in R3, allora ho preso quello della base canonica (1,0,0), e siccome il testo mi dice che f ha 1 come autovalore avrò f(1,0,0)=(1,0,0).
Per il secondo punto avrei applicato la definizione di endomorfismo simmetrico trovando che f non lo è; però non so se il procedimento per il punto a) possa andare bene e di conseguenza tutto il resto...
Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao @ilenev, benvenuta nel forum
E questa è un'ottima osservazione
Vero, ma irrilevante....e ti porta a scrivere la seguente folle deduzione:
Ma come? Hai visto la cosa essenziale e poi non applichi la linearità per ricavare il vettore?
$f(-1,-1,1)=f[(0,-1,2)-(1,0,1)]=f(0,-1,2)-f(1,0,1)=(3,1,1)-(2,0,2)=(1,1,-1)=-1(-1,-1,1)$
Enfatizzo che $f(-1,-1,1)=-1(-1,-1,1)$ perchè significa che $(-1,-1,1)$ è un autovettore relativo all'autovalore $-1$
Noto anche che $ f(1,0,1)=(2,0,2)=2(1,0,1)$ pertanto $(1,0,1)$ è un autovettore relativo all'autovalore $2$
Ho letto deduzioni scritte da terrapiattisti più sensate di quello che ho quotato!
Dico sul serio, quello che hai scritto è un delirio che devi assolutamente scordare...e magari ripassare la teoria dall'inizio.
Tirando le somme abbiamo tre autovalori distinti (includendo quello fornito dal testo) e due autovettori.
Ci chiedono se sia possibile trovare un endomorfismo simmetrico. Sappiamo dal teorema spettrale (=TS) che la matrice associata deve essere diagonalizzabile...e noi abbiamo tre autovalori reali, quindi questo punto è ok.
Poi sappiamo, sempre dal TS, che gli autospazi relativi ad autovalori distinti sono perpendicolari fra di loro.
Beh, notiamo che i due autospazi generati dagli autovettori (-1,-1,1) e (1,0,1) sono effettivamente perpendicolari...basta farne il prodotto scalare per sincerarsi che è pari a zero.
Possiamo quindi costruire l'endomorfismo simmetrico? Direi di si, dato che ci serve solo un terzo autovettore perpendicolare agli altri due da associare all'autovalore $1$.
Per ottenerlo è sufficiente fare il prodotto vettoriale $(-1,-1,1)xx(1,0,1)=(-1,2,1)$
Adesso abbiamo tutti gli ingredienti per costruire $F=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^T$
E otteniamo $ F=1/6( ( 5 , -4 , 7 ),( -4 , 2 , 4 ),( 7 , 4 , 5 ) ) $ che soddisfa tutto.
"ilenev":
Per risolvere il punto a) ho notato innanzitutto che (-1,-1,1)=(0,-1,2)-(1,0,1)
E questa è un'ottima osservazione
"ilenev":
quindi i tre vettori non sono linearmente indipendenti
Vero, ma irrilevante....e ti porta a scrivere la seguente folle deduzione:
"ilenev":
quindi non posso definire f in modo univoco e di conseguenza non posso calcolare f(-1,-1,1).
Ma come? Hai visto la cosa essenziale e poi non applichi la linearità per ricavare il vettore?
$f(-1,-1,1)=f[(0,-1,2)-(1,0,1)]=f(0,-1,2)-f(1,0,1)=(3,1,1)-(2,0,2)=(1,1,-1)=-1(-1,-1,1)$
Enfatizzo che $f(-1,-1,1)=-1(-1,-1,1)$ perchè significa che $(-1,-1,1)$ è un autovettore relativo all'autovalore $-1$
Noto anche che $ f(1,0,1)=(2,0,2)=2(1,0,1)$ pertanto $(1,0,1)$ è un autovettore relativo all'autovalore $2$
"ilenev":
siccome il testo mi dice che f ha 1 come autovalore avrò f(1,0,0)=(1,0,0).
Per il secondo punto avrei applicato la definizione di endomorfismo simmetrico trovando che f non lo è
Ho letto deduzioni scritte da terrapiattisti più sensate di quello che ho quotato!
Dico sul serio, quello che hai scritto è un delirio che devi assolutamente scordare...e magari ripassare la teoria dall'inizio.
Tirando le somme abbiamo tre autovalori distinti (includendo quello fornito dal testo) e due autovettori.
Ci chiedono se sia possibile trovare un endomorfismo simmetrico. Sappiamo dal teorema spettrale (=TS) che la matrice associata deve essere diagonalizzabile...e noi abbiamo tre autovalori reali, quindi questo punto è ok.
Poi sappiamo, sempre dal TS, che gli autospazi relativi ad autovalori distinti sono perpendicolari fra di loro.
Beh, notiamo che i due autospazi generati dagli autovettori (-1,-1,1) e (1,0,1) sono effettivamente perpendicolari...basta farne il prodotto scalare per sincerarsi che è pari a zero.
Possiamo quindi costruire l'endomorfismo simmetrico? Direi di si, dato che ci serve solo un terzo autovettore perpendicolare agli altri due da associare all'autovalore $1$.
Per ottenerlo è sufficiente fare il prodotto vettoriale $(-1,-1,1)xx(1,0,1)=(-1,2,1)$
Adesso abbiamo tutti gli ingredienti per costruire $F=QLambdaQ^(-1)=QLambdaQ^T$
E otteniamo $ F=1/6( ( 5 , -4 , 7 ),( -4 , 2 , 4 ),( 7 , 4 , 5 ) ) $ che soddisfa tutto.
Grazie mille per le dritte e la risoluzione, mi rendo adesso conto dell'errore iniziale! Posso chiederti una dritta anche sull'ultimo punto dell'esercizio? sarebbe: è possibile che un tale endomorfismo f sia ortogonale? se sì se ne dia un esempio scrivendo in base canonica la matrice ad esso associata.
"ilenev":
è possibile che un tale endomorfismo f sia ortogonale?
E' equivalente a chiedersi: "che autovalori può assumere una rotazione ortogonale pura, ovvero senza che avvenga alcun scaling degli assi?"
Che dici?
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