Coefficienti di un vettore in uno spazio
ciao ho una semplice domanda sull'argomento,
La professoressa durante una lezione ha detto che in una forma lineare $ ( f:V |-> IK | f " ""lineare" ) $ se fisso una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di $V$ e prendo un $ ul(x)in V $ allora $ ul(x)=sum_(i = \1)^n \x_iul(b_i) $ dove gli $x_i$ sono gli elementi del vettore $ ul(x)$ .
per quale ragione si viene a creare questa costrizione ?
sono abituato a vedere che una scrittura del genere la si può riscontrare solo se $B$ fosse una base canonica.
La professoressa durante una lezione ha detto che in una forma lineare $ ( f:V |-> IK | f " ""lineare" ) $ se fisso una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di $V$ e prendo un $ ul(x)in V $ allora $ ul(x)=sum_(i = \1)^n \x_iul(b_i) $ dove gli $x_i$ sono gli elementi del vettore $ ul(x)$ .
per quale ragione si viene a creare questa costrizione ?
sono abituato a vedere che una scrittura del genere la si può riscontrare solo se $B$ fosse una base canonica.
Risposte
"Andelf67":
sono abituato a vedere che una scrittura del genere la si può riscontrare solo se $B$ fosse una base canonica.
Le componenti di un vettore sono sempre la combinazione lineare rispetto alla base scelta...e non deve essere necessariamente una base formata da versori perpendicolari.
grazie mille mi hai sbloccato un dubbio elementare.
Per vedere se ho capito, se ho una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di $V$ per cui $ vin V | v=lambda _1b_1+...+lambda _nb_n $ allora $ v=( ( lambda_1 ),( ... ),( lambda_n ) ) $ ?
Per vedere se ho capito, se ho una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di $V$ per cui $ vin V | v=lambda _1b_1+...+lambda _nb_n $ allora $ v=( ( lambda_1 ),( ... ),( lambda_n ) ) $ ?
Esatto
grazie 
@Andelf67 Cortesemente potresti cambiare il titolo, dato che la domanda posta non riguarda le forme lineari. Grazie. 
"Andelf67":
grazie mille mi hai sbloccato un dubbio elementare.
Per vedere se ho capito, se ho una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di $V$ per cui $ vin V | v=lambda _1b_1+...+lambda _nb_n $ allora $ v=( ( lambda_1 ),( ... ),( lambda_n ) ) $ ?
Ma no! Questo succede se $B$ é la base canonica di $K^n$. Solo in quel caso $v$ é uguale al vettore colonna delle sue componenti rispetto a $B$. Ma in generale no.
Urgono esempi. In $\mathbb R^2$, con la base
\[
B=\{b_1=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, b_2=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\}, \]
come si scrive il vettore
\[
x=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}?\]
P.S.: Ma cosa c'entrano le forme lineari?
"dissonance":
Ma no!
...ma come no?
"dissonance":
come si scrive il vettore
\[
x=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}?\]
Nella base B è $0*b_1+1*b_2=b_2$
Inoltre non c'è bisogno di dare componenti ai vettori della base (che sono chiaramente scritti in base canonica...a meno di diverse specifiche).
Una cosa che non ho mai capito è che problema hanno le persone a vedere:
dissonance hai ragione, ora ti scrivo tutto il ragionamento della prof.
$ f:V |-> IK | f " ""lineare" $ , se fisso una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di V e la base $ \epsilon={1} $ di $ IK $ si ha che la matrice rappresentativa è $ [f(b_1),...,f(b_n)] $.
se $ ul(x)in V $, $ ul(x)=sum_(i = \1)^n \x_iul(b_i) $ $ rArr $ $ f(ul(x))=sum_(i = \1)^n \x_i f(ul(b_i)) =[f(b_1),...,f(b_n)][(x_1),(...),(x_n)] $ quindi $ f(ul(x))=M_\epsilon^B(f)*ul(x) $.
Visto che la prof mi ha definito lo spazio duale come $ V"*" ={f ":"" "Vrarr IK |f" " "lineare"} $
e mi ha detto che gli elementi di uno spazio duale si chiamano forme lineari o funzionali ho dedotto che una generica $f ":"" "Vrarr IK |f" " "lineare"$ sia appunto una forma lineare o funzionale.
$ f:V |-> IK | f " ""lineare" $ , se fisso una base $ B={ul(b_1),...,ul(b_n) } $ di V e la base $ \epsilon={1} $ di $ IK $ si ha che la matrice rappresentativa è $ [f(b_1),...,f(b_n)] $.
se $ ul(x)in V $, $ ul(x)=sum_(i = \1)^n \x_iul(b_i) $ $ rArr $ $ f(ul(x))=sum_(i = \1)^n \x_i f(ul(b_i)) =[f(b_1),...,f(b_n)][(x_1),(...),(x_n)] $ quindi $ f(ul(x))=M_\epsilon^B(f)*ul(x) $.
Visto che la prof mi ha definito lo spazio duale come $ V"*" ={f ":"" "Vrarr IK |f" " "lineare"} $
e mi ha detto che gli elementi di uno spazio duale si chiamano forme lineari o funzionali ho dedotto che una generica $f ":"" "Vrarr IK |f" " "lineare"$ sia appunto una forma lineare o funzionale.
@Andelf67 Ma quello non c'entra nulla.
Il punto è che un vettore definito rispetto ad una base è sempre una combinazione lineare dei vettori della base pesati rispetto alle sue componenti.
E' la normalità.
Nell'esempio dato da dissonance $v=b_2$ e questo indipendentemente dal fatto si assegnino componenti ai vettori della base.
Ma se si assegnano delle componenti (in base canonica) agli elementi della base (come ha fatto dissonance) e vogliamo conoscere le coordinate in base canonica allora $( ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) ) ( ( 0 ),( 1) ) = ( ( 1 ),( 1) )=b_2$
Non cambia nulla
Il punto è che un vettore definito rispetto ad una base è sempre una combinazione lineare dei vettori della base pesati rispetto alle sue componenti.
E' la normalità.
Nell'esempio dato da dissonance $v=b_2$ e questo indipendentemente dal fatto si assegnino componenti ai vettori della base.
Ma se si assegnano delle componenti (in base canonica) agli elementi della base (come ha fatto dissonance) e vogliamo conoscere le coordinate in base canonica allora $( ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) ) ( ( 0 ),( 1) ) = ( ( 1 ),( 1) )=b_2$
Non cambia nulla
per il controesempio di dissonance $ x=b_2-b_1 $ ma $ x =((0),(1)) \ne ((1),(-1)) $
"Andelf67":
per il controesempio di dissonance $ x=b_2-b_1 $ ma $ x =((0),(1)) \ne ((1),(-1)) $
No. Assolutamente no.
Tu ragioni solo ed esclusivamente in base canonica...e allora dove stanno tutte le altre?
Se dissonance scrive una base e poi un vettore, lo scrive in QUELLA base non in quella canonica che non esiste.
Che senso avrebbe assegnare un vettore in base canonica e chiedere che componenti ha in base canonica?
Se poi assegna componenti in base canonica alla base, tramite la matrice rappresentativa (che ho scritto nel post precedente e non è altro che la matrice con colonne i vettori della base), si può cambiare il vettore in coordinate canoniche.
Al contrario, se uno ti da un vettore in base canonica allora DEVE darti anche le componenti della base in forma canonica per poter ricavare le coordinate del vettore in base B. Come? Basta moltiplicare il vettore per l'inversa della matrice rappresentativa...ma non era certo questa la domanda iniziale ne il ragionamento della prof.
Comunque se si vuole rispondere a QUESTA domanda (che non era l'intenzione di dissonance) allora la risposta è che $x_B=R^(-1)x_C=( ( 1 , -1 ),( 0 , 1 ) )( ( 0 ),( 1 ) ) =( ( -1 ),( 1 ) )$ dove $R=( ( 1 , 1 ),( 0 , 1 ) )$
Infatti $Rx_B=x_C$
Quindi scegli: il vettore che ha dato dissonance era in base canonica o in base B?
Non è b2, ma b2 -b1 (scusate, sono dal telefonino)
"dissonance":
Non è b2, ma b2 -b1 (scusate, sono dal telefonino)
Non hai letto nulla di quello che ho scritto
"Bokonon":
[quote="dissonance"]
Ma no!
...ma come no?
"dissonance":
come si scrive il vettore
\[
x=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}?\]
Nella base B è $0*b_1+1*b_2=b_2$[/quote]
Sono arrivato qui e non capisco cosa tu voglia dire. Ovviamente $x=b_2-b_1$. Da come scrivi, capisco tu abbia scritto $x=b_2$, e pensavo fosse una svista. Quello che dici dopo mi sembra abbia un fondo di verità, ma è troppo complicato e finisce per fare confondere.
Comunque, ammetto che non ho letto con attenzione.
"dissonance":
[quote="Bokonon"][quote="dissonance"]
Ma no!
...ma come no?
"dissonance":
come si scrive il vettore
\[
x=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}?\]
Nella base B è $0*b_1+1*b_2=b_2$[/quote]
Sono arrivato qui e non capisco cosa tu voglia dire. Ovviamente $x=b_2-b_1$. Da come scrivi, capisco tu abbia scritto $x=b_2$, e pensavo fosse una svista. Quello che dici dopo mi sembra abbia un fondo di verità, ma è troppo complicato e finisce per fare confondere.
Comunque, ammetto che non ho letto con attenzione.[/quote]
Il punto è che la tua è una domanda ambigua. La domanda che volevi fare è: come si scrive nella base $B$ il vettore rappresentato rispetto alla base canonica come \[
x=\begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix}?\]Se non specifichi che è scritto rispetto alla base canonica, allora la risposta di Bokonon è ovviamente quella giusta. Perchè non è affatto vero, come dici nel tuo post precedente, che quando si rappresentano le coordinate di un vettore in quel modo lo si fa rispetto alla base canonica. Lo si fa rispetto ad una base assegnata qualsiasi!
@dissonance
Scusami eh....rileggi la domanda iniziale del thread.
Presa una base B qualsiasi di V, un vettore $v=(v_1,v_2,...,v_n)$ è definito come $vec(v)=sum_1^n v_ivec(b_i)$
Andelf67 era sconcertato dalla cosa e poi arrivi tu e scrivi:
Per quale motivo al mondo esiste solo la base canonica?
E poi porti un esempio assegnando componenti canoniche alla base e scrivendo un vettore senza manco specificare se lo scrivi in base canonica oppure rispetto alla base B.
Per me era chiaro che tu avessi malinterpretato la domanda. No?
Scusami eh....rileggi la domanda iniziale del thread.
Presa una base B qualsiasi di V, un vettore $v=(v_1,v_2,...,v_n)$ è definito come $vec(v)=sum_1^n v_ivec(b_i)$
Andelf67 era sconcertato dalla cosa e poi arrivi tu e scrivi:
"dissonance":
Ma no! Questo succede se $B$ é la base canonica di $K^n$. Solo in quel caso $v$ é uguale al vettore colonna delle sue componenti rispetto a $B$. Ma in generale no.
Per quale motivo al mondo esiste solo la base canonica?
E poi porti un esempio assegnando componenti canoniche alla base e scrivendo un vettore senza manco specificare se lo scrivi in base canonica oppure rispetto alla base B.
Per me era chiaro che tu avessi malinterpretato la domanda. No?
Può darsi, ok, mi dispiace avere confuso le idee, se siete arrivati ad un punto fermo allora meglio ignorare i miei commenti.
grazie ragazzi, in particolare a Bokonon che si è impegnato a dirimere i dubbi. Per sicurezza stamane ho scritto anche una mail alla docente, anche se non so quando mi risponderà, così da poter chiudere la questione.
questione chiusa ecco la risposta della prof:
" xi sono le entrate del vettore x RISPETTO alla base dei vettori bi e questo si può sempre fare una volta fissata una base. Ovviamente se cambi base (e per esempio prendi quella canonica) le entrate xi cambieranno ".
" xi sono le entrate del vettore x RISPETTO alla base dei vettori bi e questo si può sempre fare una volta fissata una base. Ovviamente se cambi base (e per esempio prendi quella canonica) le entrate xi cambieranno ".
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