Algebra dei determinanti
Salve a tutti,
non riesco a capire come impostare il seguente esercizio:
Sia A una matrice invertibile 5x5.
Calcolare il determinante della matrice $ (A^t-A)^2(A^t+A^-1)^2 $
A parte alcune facili considerazioni, come ad esempio il fatto che A e A trasposto hanno stesso determinante e che non vale il quadrato di binomio per le matrici come quello dei numeri reali.... non riesco ad andare avanti
non riesco a capire come impostare il seguente esercizio:
Sia A una matrice invertibile 5x5.
Calcolare il determinante della matrice $ (A^t-A)^2(A^t+A^-1)^2 $
A parte alcune facili considerazioni, come ad esempio il fatto che A e A trasposto hanno stesso determinante e che non vale il quadrato di binomio per le matrici come quello dei numeri reali.... non riesco ad andare avanti
Risposte
Indizio: teorema di Binét!
Sì, il determinante del prodotto è il prodotto dei determinanti.
Ma non esiste una regola analoga per il determinante della somma
Ma non esiste una regola analoga per il determinante della somma
Infatti c'è un trucco da osservare!
Se una matrice quadrata \(B\) verifica \(B^T=-B\), quanto vale il suo determinante? Ora, posto \(B=A^T-A\) etc etc etc...
Se una matrice quadrata \(B\) verifica \(B^T=-B\), quanto vale il suo determinante? Ora, posto \(B=A^T-A\) etc etc etc...
Credo di aver capito.
Se una matrice quadrata (aggiungo di ordine dispari) verifica $ B^T=−B $ allora il suo determinante è zero. (Per l'ordine pari non dovrebbe funzionare, basta verificare con una 2x2 classica).
Se poniamo $ B = A^T - A $ e calcoliamo $ B^T = (A^T−A)^T=A-A^T=-B $ notiamo che rispetta la proprietà precedente per cui ha determinante zero.
Quindi il primo fattore fa zero e quindi tutto fa zero?
Se una matrice quadrata (aggiungo di ordine dispari) verifica $ B^T=−B $ allora il suo determinante è zero. (Per l'ordine pari non dovrebbe funzionare, basta verificare con una 2x2 classica).
Se poniamo $ B = A^T - A $ e calcoliamo $ B^T = (A^T−A)^T=A-A^T=-B $ notiamo che rispetta la proprietà precedente per cui ha determinante zero.
Quindi il primo fattore fa zero e quindi tutto fa zero?
Certamente, di ordine dispari. Giustissima osservazione. Il determinante in questo caso fa zero. Questi esercizio è in realtà un trucco, senza questa osservazione quel determinante vattelapesca.
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