Esercizio: Determinare le soluzione del sistema parametrico
Ciao a tutti ragazzi, sono tornato per chiedervi un informazione riguardante questo esercizio
$ (h^2 + h)y = h$
$ h^2x + y +z =2$
quindi la matrice è
$((0,h^2+h,0),(h^2,1,1))$
per iniziare ho calcolato il rango che dovrebbe essere 2
$((0,(h^2+h)),(h,1))$
però poi non so come continuare, negli esercizi fatti in precedenza erano tutte matrici quadrate, quindi utilizzavo Cramer, ma in questo caso non so come procedere.
Pensavo di studiare i casi quando h=0 e quando è diverso da zero, ma non essendo sicuro di come procedere ho preferito chiedere informazioni a voi, visto che la mia professoressa è irreperibile da 4 mesi.
Potete darmi una mano? Vi ringrazio =)
$ (h^2 + h)y = h$
$ h^2x + y +z =2$
quindi la matrice è
$((0,h^2+h,0),(h^2,1,1))$
per iniziare ho calcolato il rango che dovrebbe essere 2
$((0,(h^2+h)),(h,1))$
però poi non so come continuare, negli esercizi fatti in precedenza erano tutte matrici quadrate, quindi utilizzavo Cramer, ma in questo caso non so come procedere.
Pensavo di studiare i casi quando h=0 e quando è diverso da zero, ma non essendo sicuro di come procedere ho preferito chiedere informazioni a voi, visto che la mia professoressa è irreperibile da 4 mesi.
Potete darmi una mano? Vi ringrazio =)
Risposte
Sistema lineare A di m equazioni in n incognite compatibile e ridotto.
Occorre determinare un sistema massimo di m colonne indipendenti della prima matrice del sistema A.
Supposte siano le prime m colonne di A un sistema di colonne indipendenti,
si risolve il sistema A nelle variabili \(\displaystyle x_1, ..., x_m \) considerando parametri le variabili \(\displaystyle x_m+1, ..., x_n \).
Dalla prima matrice del sistema A, A, passiamo alla matrice B relativa alle prime m colonne:
il sistema in forma matriciale viene riscritto come B*x' = c \(\displaystyle - p_{m+1} * a^{m+1} - ... - p_n * a^n\)
Formalmente si applica Cramer, trattandosi ora di un sistema normale di con numero di incognite pari al numero di equazioni.
Avvalendosi delle proprietà dei determinanti, abbiamo:
componente i-esima, per i da 1 ad m, delle soluzioni \(\displaystyle \eta \) in n componenti,
con componenti indiciate da m+1 ad n parametriche,
\(\displaystyle \eta_i \) = \(\displaystyle [det(B(i)) - p_{m+1}*det(B(i,m+1)) - ... - p_n*det(B(i,n))] : det(B) \)
Con B(i) eguale alla matrice B sostituita nella colonna i-esima con la colonna dei termini noti del sistema A.
Con B(i, m+1) eguale alla matrice B sostituita sempre nella colonna i-esima con quella (m+1)-esima della prima matrice del sistema A.
Occorre determinare un sistema massimo di m colonne indipendenti della prima matrice del sistema A.
Supposte siano le prime m colonne di A un sistema di colonne indipendenti,
si risolve il sistema A nelle variabili \(\displaystyle x_1, ..., x_m \) considerando parametri le variabili \(\displaystyle x_m+1, ..., x_n \).
Dalla prima matrice del sistema A, A, passiamo alla matrice B relativa alle prime m colonne:
il sistema in forma matriciale viene riscritto come B*x' = c \(\displaystyle - p_{m+1} * a^{m+1} - ... - p_n * a^n\)
Formalmente si applica Cramer, trattandosi ora di un sistema normale di con numero di incognite pari al numero di equazioni.
Avvalendosi delle proprietà dei determinanti, abbiamo:
componente i-esima, per i da 1 ad m, delle soluzioni \(\displaystyle \eta \) in n componenti,
con componenti indiciate da m+1 ad n parametriche,
\(\displaystyle \eta_i \) = \(\displaystyle [det(B(i)) - p_{m+1}*det(B(i,m+1)) - ... - p_n*det(B(i,n))] : det(B) \)
Con B(i) eguale alla matrice B sostituita nella colonna i-esima con la colonna dei termini noti del sistema A.
Con B(i, m+1) eguale alla matrice B sostituita sempre nella colonna i-esima con quella (m+1)-esima della prima matrice del sistema A.
Mi scusi Achille, non sono sicuro di aver capito, può scrivermi il procedimento, così mi faccio un idea più precisa? Scusi il disturbo.
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