Applicazioni lineari: Stabilire se un'applicazione lineare f è surgettiva o ingettiva; Determinare una base di f(V)
Salve a tutti, sto trovando alcune difficoltà nella risoluzione di questo esercizio. Se poteste indicarmi qualche metodo risolutivo ve ne sarei grato.
Si consideri l’applicazione lineare $f:RR^3→RR^2$ tale che
$f(2,1,1)=(2,1),f(1,1,1)=(0,−1),f(1,−3,1)=(2,2)$.
a) Determinare la matrice di $f$ rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e di $RR^2$;
b) Stabilire se $f$ è surgettivo e/o ingettivo;
c) Posto $V=L{(12,1,1),(1,5,1)}$, determinare una base di $f(V)$.
Ad esempio, per il punto a), rispetto alla base $RR^3$ sono in grado di determinare la matrice ma rispetto a quella di $RR^2$ non saprei proprio come fare. Magari è una cosa banale che ora mi sfugge.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Si consideri l’applicazione lineare $f:RR^3→RR^2$ tale che
$f(2,1,1)=(2,1),f(1,1,1)=(0,−1),f(1,−3,1)=(2,2)$.
a) Determinare la matrice di $f$ rispetto alle basi canoniche di $RR^3$ e di $RR^2$;
b) Stabilire se $f$ è surgettivo e/o ingettivo;
c) Posto $V=L{(12,1,1),(1,5,1)}$, determinare una base di $f(V)$.
Ad esempio, per il punto a), rispetto alla base $RR^3$ sono in grado di determinare la matrice ma rispetto a quella di $RR^2$ non saprei proprio come fare. Magari è una cosa banale che ora mi sfugge.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto
Risposte
Nel punto a) non ci sono due esercizi.
Se l'applicazione lineare $f : V -> W$ è un endomorfismo ( cioè $V = W$) allora ha senso chiedere di determinare la matrice associata ad $f$ rispetto ad una base di $V$; cioè prendi la stessa base sia per il dominio che per il codominio. Se $V \ne W$ (come nel tuo caso), la matrice associata ad $f$ è scritta rispetto a due basi: una base del dominio $V$ ed una base del codominio $W$.
Se l'applicazione lineare $f : V -> W$ è un endomorfismo ( cioè $V = W$) allora ha senso chiedere di determinare la matrice associata ad $f$ rispetto ad una base di $V$; cioè prendi la stessa base sia per il dominio che per il codominio. Se $V \ne W$ (come nel tuo caso), la matrice associata ad $f$ è scritta rispetto a due basi: una base del dominio $V$ ed una base del codominio $W$.
Quindi mi basta trovare la matrice di $f$ rispetto alla base canonica $RR^3$?
Nel testo si parla esplicitamente di "basi canoniche," per cui, secondo me, si può procedere in modo globale. Precisamente, detta A la matrice richiesta, si può scrivere che :
$A cdot ((2,1,1),(1,1,-3),(1,1,1)) = ((2,0,2),(1,-1,2)) $
dove a primo membro sono situati in colonna i vettori dati e a secondo membro si trovano, sempre in colonna, le corrispondenti immagini.
Da qui si ha :
$A=((2,0,2),(1,-1,2)) cdot ((2,1,1),(1,1,-3),(1,1,1))^{-1}$
Sviluppando i calcoli risulta :
$A=((2,-1/2,-3/2),(2,-3/4,-9/4))$
Ne consegue che la rappresentazione algebrica di f è : $f(x,y,z)=(2x-1/2y-3/2z,2x-3/4y-9/4z)$
Il resto del quesito mi sembra del tutto nella norma.
$A cdot ((2,1,1),(1,1,-3),(1,1,1)) = ((2,0,2),(1,-1,2)) $
dove a primo membro sono situati in colonna i vettori dati e a secondo membro si trovano, sempre in colonna, le corrispondenti immagini.
Da qui si ha :
$A=((2,0,2),(1,-1,2)) cdot ((2,1,1),(1,1,-3),(1,1,1))^{-1}$
Sviluppando i calcoli risulta :
$A=((2,-1/2,-3/2),(2,-3/4,-9/4))$
Ne consegue che la rappresentazione algebrica di f è : $f(x,y,z)=(2x-1/2y-3/2z,2x-3/4y-9/4z)$
Il resto del quesito mi sembra del tutto nella norma.
Quindi una volta calcolata $A$ abbiamo finito di svolgere il punto a)?
Null'altro da aggiungere per il punto (a). Anzi, indicando anche la definizione algebrica di f, mi sono ..sbilanciato 
Però, giusto per fare una verifica, calcolando $A*((2,1,1),(1,1,-3),(1,1,1))$ non otteniamo $((2,0,2),(1,-1,2))$. Come mai?
No, scusami. Ho sbagliato io i calcoli. Grazie mille 
Per quanto riguarda il punto b), $f$ risulta essere solamente suriettiva?
Potreste essere così gentili da indicarmi un metodo di risoluzione per il punto c)?
Grazie in anticipo
Potreste essere così gentili da indicarmi un metodo di risoluzione per il punto c)?
Grazie in anticipo
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