Vedere se due sottospazi sono in somma diretta.

[marthy_92]

Ciao a tutti ! Ho dei dubbi con questo esercizio.

Dallo studio di un 'applicazione lineare f che va da R2 in R2 risulta che
$ kerf = < ( -1,1,1) > $
$ Imf = <(6,1,1), ( 9,0,3) > $

L'esercizio mi chiede se il nucleo e l'Imf sono in somma diretta. Come procedere?

Due sottospazi sono in somma diretta se e solo se la loro intersezione è vuota.
Io ho determinato l'equazione cartesiana di Imf che risulta essere $ x-3y-3z=0 $
Poi ho scritto il generico elemento del kerf ---> a ( -1,1,1) = (-a,a,a)
Quindi ho imposto che stesse nell'Imf--> -a -3 (a) -3 (a) =0 --> a =0
Quindi da qui concluderei dicendo l'intersezione è costituita solo dal vettore nullo e che i 2 sottospazi
sono in somma diretta. E' corretto?

Altrimenti, è possibile verificarlo in modo più diretto ? cioè mettendo i vettori in una matrice

\( \begin{pmatrix} 6 & 9 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} \)

e calcolandone il determinante. Siccome viene diverso da zero, allora la somma è diretta. E' corretto così?

[circe123]

ora calcoli il rango di quella matrice, se è uguale a 3 allora sono in somma diretta, altrimenti no!
oppure anche come hai detto tu con il determinante

[Peter Pan1]

Ciao Marthy!
Puoi anche calcolarti l'equazione cartesiana del ker e fare un sistema con quella dell'immagine che hai già trovato.
Se stanno in somma diretta allora il risultato del sistema srà il vettore nullo.
Ciao!

[Newton_1372]

Se tre vettori sono linearmente indipendenti e oggip che il loro span ha intersezione zero...quindi si