[algebra lineare] scrivere la matrice rispetto alle basi canoniche

[circe123]

Sia
$f^-1 {(-1,0,1)} = (-1,0,1) + <(1,2,1),(2,1,2)>$
Si scriva la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
potreste aiutarmi? grazie mille!

[Peter Pan1]

Ciao Circe
L'esercizio ti chiede di trovare la matrice associata ad $ f $ rispetto alle basi canoniche sfruttando il fatto che la controimmagine di $ ( -1 , 0 , 1 ) $ è il piano traslato $ (-1,0,1)+<( 1 , 2 , 1 ), ( 2 , 1 , 2 )> $ ossia che comunque prendi un vettore di questo piano, la sua immagine sarà sempre il vettore $ ( -1 , 0 , 1 ) $. Per trovare la matrice hai bisogno delle $ f(e_i) $. Prendi un generico vettore del piano che si scriverà come $ (-1+alpha+2beta, 2alpha+beta,1+alpha+2beta) $ e fissa $ alpha, beta $ con tre valori (io ho scelto $ alpha=0,beta=1, alpha=-1,beta=1, alpha=1,beta=0 $ per comodità). Ottieni che $ f(1,1,3)=(-1,0,1),f(0,-1,2)=(-1,0,1),f(0,2,2)=(-1,0,1) $.Hai quindi che $ { ( f(e_1)+f(e_2)+3f(e_3)=-e_1+e_3 ),( -f(e_2)+2f(e_3)=-e_1+e_3 ),( 2f(e_2)+2f(e_3)=-e_1+e_3 ):} $. Risolvi il sistema e ottieni che la matrice è $ ( ( 1/2 , 0 , -1/2 ),( 0 , 0 , 0 ),( -1/2 , 0 , 1/2 ) ) $ e come puoi vedere se prendi un qualsiasi vettore del piano di partenza, la sua immagine è sempre $ (-1,0,1) $.
Se non ti è chiaro qualcosa scrivimi.
Ciao!

[Sk_Anonymous]

Un'alternativa alla già ottima soluzione di Peter Pan.
Si ha :
$f^-1 ((-1),(0),(1)) = ((-1),(0),(1)) + lambda ((1),(2),(1))+mu ((2),(1),(2))$
Da cui :
$ ((-1),(0),(1)) = f((-1),(0),(1)) + lambda f((1),(2),(1))+mu f((2),(1),(2))$
Ponendo $(lambda=mu=0),(lambda=1,mu=0),(lambda=0,mu=1)$ si hanno le relazioni:
$f ((-1),(0),(1))=((-1),(0),(1)),f((1),(2),(1))=((0),(0),(0)),f((2),(1),(2))=((0),(0),(0))$
Pertanto la matrice M richiesta è:
$M=((-1,0,0),(0,0,0),(1,0,0)) cdot ((-1,1,2),(0,2,1),(1,1,2))^{-1}=((1/2,0,-1/2),(0,0,0),(-1/2,0,1/2))$