Esercizio gruppo fondamentale
Buongiorno a tutti...
Nel piano $RR^2$ con la topologia euclidea, si considerino i seguenti sottospazi:
$X_1={(x,y):x^2+y^2=1}$, $X_2=X_1 uu {(x,y): y=0, x in [-1,1]}$, $X_3= X_1 uu X_2 uu {(x,y) in RR^2: x=0, y in [-1,1]}$
Calcolare i gruppi fondamentali di $X_1, X_2, X_3$
Allora il gruppo fondamentale di $X_1$ sappiamo che è $ZZ$
Vediamo invece quello di $X_2$. Questo spazio sarebbe la circonfernza centrata nell'origine con raggio 1 unita al suo diametro orizzontale. Quindi, per usare Van Kampen, mi riscrivo lo spzio come unione della mezza circonfernza con il suo diametro e l'altra mezza circonferenza sempre con il diametro.
$X_2=A uu B$ dove
$A={(x,y) in RR^2: y= sqrt(1-x^2)}uu {(x,y) in RR^2: y=0, x in [-1,1]}$
$B={(x,y) in RR^2: y= -sqrt(1-x^2)}uu {(x,y) in RR^2: y=0, x in [-1,1]}$
Adesso posso dire che $S^1$ è il retratto di A, ma anche di B $=>$ $pi_1(A, x_0)=pi_1(B,x_0)= ZZ$
$pi_1(A nn B, x_0)= {1}$ e quindi:
$pi_1(X_2, x_0)= ZZ * ZZ$ (prodotto libero)
E applicando due volte Van Kampen ad $X_3$ posso dire analogamente che $pi_1(X_3, x_0)= ZZ * ZZ* ZZ* ZZ$ ?
Che ne dite? Grazie per l'aiuto
Nel piano $RR^2$ con la topologia euclidea, si considerino i seguenti sottospazi:
$X_1={(x,y):x^2+y^2=1}$, $X_2=X_1 uu {(x,y): y=0, x in [-1,1]}$, $X_3= X_1 uu X_2 uu {(x,y) in RR^2: x=0, y in [-1,1]}$
Calcolare i gruppi fondamentali di $X_1, X_2, X_3$
Allora il gruppo fondamentale di $X_1$ sappiamo che è $ZZ$
Vediamo invece quello di $X_2$. Questo spazio sarebbe la circonfernza centrata nell'origine con raggio 1 unita al suo diametro orizzontale. Quindi, per usare Van Kampen, mi riscrivo lo spzio come unione della mezza circonfernza con il suo diametro e l'altra mezza circonferenza sempre con il diametro.
$X_2=A uu B$ dove
$A={(x,y) in RR^2: y= sqrt(1-x^2)}uu {(x,y) in RR^2: y=0, x in [-1,1]}$
$B={(x,y) in RR^2: y= -sqrt(1-x^2)}uu {(x,y) in RR^2: y=0, x in [-1,1]}$
Adesso posso dire che $S^1$ è il retratto di A, ma anche di B $=>$ $pi_1(A, x_0)=pi_1(B,x_0)= ZZ$
$pi_1(A nn B, x_0)= {1}$ e quindi:
$pi_1(X_2, x_0)= ZZ * ZZ$ (prodotto libero)
E applicando due volte Van Kampen ad $X_3$ posso dire analogamente che $pi_1(X_3, x_0)= ZZ * ZZ* ZZ* ZZ$ ?
Che ne dite? Grazie per l'aiuto
Risposte
Usa Hatcher 0.17, che dice che se decomponi uno spazio come un complesso cellulare, shrinkare ad un punto un sottocomplesso contrattile non cambia i suoi gruppi di omotopia. Allora la decomposizione di $X_2$ si presta ad avere il diametro come sottocomplesso contrattile, dando che \(\pi_1(X_2)\cong \pi_1(S^1\vee S^1)\), e per quanto riguarda $X_3$ contrai consecutivamente tutti i mezzi diametri per avere che \(\pi_1(X_3)\cong \pi_1(S^1\vee S^1\vee S^1\vee S^1)\); quindi si', e' giusto.
Ho studiato sul Kosniowski, ma adesso mi do una letta anche sull' Hatcher! Grazie ancora
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