Pullback di forme di volume

[Thomas16]

Salve, per impratrichirmi sto cercando di formalizzare la dimostrazione di questo risultato, che dovrebbe essere quasi ovvio:

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Siano date due superifici $X,Y$ bidimensionali in $R^3$ orientate attraverso una mappa di Gauss e una mappa liscia $f:X \rightarrow Y$ (diciamo anche un diffeomerfismo). Queste superfici possiederanno forme di volume $Vol_X$ e $Vol_Y$. E' vero che il pullback $f^*$ è tale che:

$f^* (Vol_Y)(p)= det J(p) Vol_X(p)$ per ogni $p$ in $X$ ????

Questo è quello che uno come me si aspetterebbe (è una mia congettura potrebbe essere anche sbagliata , soprattutto per quanto riguarda i segni). Se è vero vorrei provare a dimostrarlo visto che ho difficoltà ad imparare il formalismo della geometria differenziale... (nb: per $det J(p)$ intendo il determinante dello jacobiano della funzione $F$ calcolata in $p$)
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Mi chiedo come questo si possa formalizzare e quale sia il modo migliore per farlo. Mostro un mio tentativo. Se qualcuno potesse commentarlo e suggerirmi altre vie più semplici per me sarebbe ottimo

--------------------------tentativo

Io ho provato a fare così (lascio molte cose non verificate visto che queste aumentano esponenzialmente e penso vi sia una via più semplice):

Moralmente penso che la forma di volume sulla superificie derivi dalla forma di volume $e_1 \wedge e_2 \wedge e_3$ restringendo alla superficie e inserendo un vettore normale tra gli argomenti quando si calcola la forma.

Per esempio questo vorrebbe dire che $f^* (Vol_Y)(p)(\alpha_1,\alpha_2)= e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 (D_p f(\alpha_1),D_p f(\alpha_2),N_y(f(p)))$
(questa è corretta?)

,avendo indicato con $N_x$ la mappa di gauss in $X$ ($N_y$ la mappa di gauss in $Y$)e con $\alpha_i$ due vettori appartenenti a $T_pX$. A questo punto
se definiamo $M$ come la matrice 3x3 che manda $\alpha_1$ in $D_p f(\alpha_1)$, $\alpha_2$ in $D_p f(\alpha_2)$ e $N_x(p)$ in $N_y(f(p))$, questa dovrebbe avere il medesimo determinante dello Jacobiano (e qui altra fatica per vederlo). Visto questo continuerei:
$e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 (D_p f(\alpha_1),D_p f(\alpha_2),N_y(f(p)))=det(M\alpha_1| M\alpha_2| M N_x(p))$
e usando la proprietà di molitplicatività del determinante concluderei...

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Quante boiate?

[Thomas16]

... probabilmente tra le ipotesi ci deve essere anche che la funzione $f$ conservi l'orientazione, altrimenti i segni verrebbero diversi credo... anyway... qualcuno che mi dà una mano?