Autovalori ed autospazi.
Buonasera, mi servirebbe una mano per il seguente esercizio:
Sia $M(R, 2, 2)$ lo spazio vettoriale delle matrici di ordine 2 a coefficienti reali. Si consideri l'endomorfi smo f di $M(R, 2, 2)$ che associa ad ogni matrice la sua trasposta.
a) Determinare la matrice A associata ad f relativamente alla base canonica di $M(R, 2, 2)$.
b) Determinare una base per ciascun autospazio di f.
c) Determinare una matrice diagonale D ed una matrice ortogonale invertibile M tali che $D = M^-1AM$
Dunque per quanto riguarda il punto a) non ho avuto problemi: ho considerato la base canonica di $M(R, 2, 2)$ formata da
$B_1=( ( 1, 0 ),( 0, 0 ) ) , B_2=( ( 0 , 0 ),( 1, 0 ) ) , B_3=( ( 0, 1 ), ( 0, 0 ) ) , B_4=( ( 0, 0 ),( 0, 1) )$
e poi ho trovato le varie trasposte e le ho decomposte rispetto alla base canonica, trovando alla fine la matrice
$A=( ( 1, 0, 0, 0 ),( 0, 0, 1, 0 ),( 0, 1, 0, 0 ),( 0, 0, 0, 1 ) )$
E' sul punto b) e c) che ho dei dubbi: come faccio a calcolare le basi per gli autospazi?? Il mio problema è lavorare con le matrici, perché con i vettori non avrei incontrato difficoltà..
Comunque, sono riuscita a calcolare il polinomio caratteristico, facendo il $det(A - lambdaI)$, che risulta $(1-lambda)^3(1 + lambda)$ e quindi gli autovalori sono 1 con molteplicità 3 e -1 con molteplicità 1.
Ma come trovo le basi per gli autospazi relativi agli autovalori se ho delle matrici? Di solito io risolvevo il sistema associato alla matrice $B = (A - lambdaI)$ dove $lambda$ era l'autovalore relativo al mio autospazio, ma così non so come procedere!
Ringrazio in anticipo per il vostro aiuto
Sia $M(R, 2, 2)$ lo spazio vettoriale delle matrici di ordine 2 a coefficienti reali. Si consideri l'endomorfi smo f di $M(R, 2, 2)$ che associa ad ogni matrice la sua trasposta.
a) Determinare la matrice A associata ad f relativamente alla base canonica di $M(R, 2, 2)$.
b) Determinare una base per ciascun autospazio di f.
c) Determinare una matrice diagonale D ed una matrice ortogonale invertibile M tali che $D = M^-1AM$
Dunque per quanto riguarda il punto a) non ho avuto problemi: ho considerato la base canonica di $M(R, 2, 2)$ formata da
$B_1=( ( 1, 0 ),( 0, 0 ) ) , B_2=( ( 0 , 0 ),( 1, 0 ) ) , B_3=( ( 0, 1 ), ( 0, 0 ) ) , B_4=( ( 0, 0 ),( 0, 1) )$
e poi ho trovato le varie trasposte e le ho decomposte rispetto alla base canonica, trovando alla fine la matrice
$A=( ( 1, 0, 0, 0 ),( 0, 0, 1, 0 ),( 0, 1, 0, 0 ),( 0, 0, 0, 1 ) )$
E' sul punto b) e c) che ho dei dubbi: come faccio a calcolare le basi per gli autospazi?? Il mio problema è lavorare con le matrici, perché con i vettori non avrei incontrato difficoltà..
Comunque, sono riuscita a calcolare il polinomio caratteristico, facendo il $det(A - lambdaI)$, che risulta $(1-lambda)^3(1 + lambda)$ e quindi gli autovalori sono 1 con molteplicità 3 e -1 con molteplicità 1.
Ma come trovo le basi per gli autospazi relativi agli autovalori se ho delle matrici? Di solito io risolvevo il sistema associato alla matrice $B = (A - lambdaI)$ dove $lambda$ era l'autovalore relativo al mio autospazio, ma così non so come procedere!
Ringrazio in anticipo per il vostro aiuto
Risposte
"WhereIsMyMind8":
[...] E' sul punto b) e c) che ho dei dubbi: come faccio a calcolare le basi per gli autospazi?? [...]
Fondamentalmente il grosso lo hai fatto "senza saperlo": assumendo di aver dimostrato che l'insieme delle matrici quadrate di ordine \(2\) è uno spazio vettoriale (e quindi i suoi elementi sono dei vettori!), si può porre \[v_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad v_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad v_4=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Quindi per esempio si ha \[v_1 + v_2 + v_3 + v_4 =\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\] da cui la conclusione è ad un passo.
"Delirium":
assumendo di aver dimostrato che l'insieme delle matrici quadrate di ordine \( 2 \) è uno spazio vettoriale (e quindi i suoi elementi sono dei vettori!)
Quindi semplicemente procedo come se avessi dei vettori e per trovare delle basi per i due autospazi semplicemente risolvo il sistema che ricavo dalla matrice $A-lambdaI$ ?
Yay!
Ok, torna tutto. Grazie mille, non pensavo fosse così semplice! 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo