Calcolare la matrice associata M($\varphi$) a $\varphi$
Salve a tutti, dovrei risolvere questo esercizio ma ho alcune perplessità in quanto si tratta di operare nello spazio vettoriale $C^4$, ho la soluzione data dal professore ma non capisco alcuni passaggi.
In tale spazio dotato di prodotto scalare euclideo sono assegnati il sottospazio $V={(x,y,z,t) | 2x +iy -2t = 0}$ e l'endomrfismo $\varphi : C^4 -> C^4$ che ad ogni vettore $v in C^4$ associa il suo simmetrico $\varphi(v)$ rispetto a $V$. Calcolare la matrice $M(\varphi)$ associata a $\varphi$ rispetto alla base canonica.
Innanzitutto il professore indica in $n= (2/3,i/3,0,-2/3)$ il versore ortogonale a $V$.
Non riesco a capire come mai ha individuato questo vettore, il ragionamento sottostante.
In teoria un vettore $w$ è ortogonale a $V$ se preso un qualunque vettore $v in V$, si ha $w*v = 0$
Ho un pò di confusione.
In tale spazio dotato di prodotto scalare euclideo sono assegnati il sottospazio $V={(x,y,z,t) | 2x +iy -2t = 0}$ e l'endomrfismo $\varphi : C^4 -> C^4$ che ad ogni vettore $v in C^4$ associa il suo simmetrico $\varphi(v)$ rispetto a $V$. Calcolare la matrice $M(\varphi)$ associata a $\varphi$ rispetto alla base canonica.
Innanzitutto il professore indica in $n= (2/3,i/3,0,-2/3)$ il versore ortogonale a $V$.
Non riesco a capire come mai ha individuato questo vettore, il ragionamento sottostante.
In teoria un vettore $w$ è ortogonale a $V$ se preso un qualunque vettore $v in V$, si ha $w*v = 0$
Ho un pò di confusione.
Risposte
I vettori di $V$ sono quelli che soddisfano l'equazione $2x+iy-2t=0$. Pertanto essi si trovano su un iperpiano complesso, il cui vettore ortogonale (esattamente come nel caso dei piani nello spazio euclideo) risulta dato dai coefficienti dell'equazione. Un altro modo per vedere questo fatto è il seguente: i vettori di $V$ sono $v=(x,y,z,t)$, un vettore ortogonale è $w=(a,b,c,d)$. Pertanto deve aversi $ax+by+cz+dt=0$. Visto che hai già una equazione di questo tipo, puoi imporre $a=2,\ b=i,\ c=0,\ d=-2$. Per trovare il versore basta poi normalizzare.
"ciampax":
I vettori di $V$ sono quelli che soddisfano l'equazione $2x+iy-2t=0$. Pertanto essi si trovano su un iperpiano complesso, il cui vettore ortogonale (esattamente come nel caso dei piani nello spazio euclideo) risulta dato dai coefficienti dell'equazione. Un altro modo per vedere questo fatto è il seguente: i vettori di $V$ sono $v=(x,y,z,t)$, un vettore ortogonale è $w=(a,b,c,d)$. Pertanto deve aversi $ax+by+cz+dt=0$. Visto che hai già una equazione di questo tipo, puoi imporre $a=2,\ b=i,\ c=0,\ d=-2$. Per trovare il versore basta poi normalizzare.
Intanto grazie della risposta.
Concordo con quanto hai scritto, un passo alla volta.
Abbiamo detto che i vettori del sottospazio $V$ sono quelli che soddisfano l'equazione $2x +iy -2t = 0$ Vorrei trovarne uno. Supponiamo che $x = 1$ e $ t = 1$ risulta che $ y = 0$. Posso dire che il vettore $(1,0,0,1) in V$? Credo di si in quanto soddisfa l'equazione.
Adesso si tratta di capire come trovare un vettore ortogonale e quindi poi il versore.
I vettori di $V$ sono si i vettori con quattro componenti $v = (x,y,z,t)$ ma che devono rispettare la condizione $2x +iy -2t = 0$. Dovendo trovare un vettore ortogonale a $V$ e non al generico $C^4$ posso tranquillamente considerare solo il generico vettore $v = (x,y,z,t)$?
1) sì, il vettore che hai scritto sta in $V$. In generale io direi che un vettore di $V$ è della forma seguente
$$v=(\alpha,2i(\alpha-\gamma),\beta,\gamma),\qquad \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C}$$
per cui, ad esempio, una base risulta $\{(1,2i,0,0),\ (0,-2i,0,1),\ (0,0,1,0)\}$. Nota che il vettore che hai determinato tu è dato dalla somma dei primi due vettori di base.
2) Sì, è vero che i vettori in $V$ soddisfano quella particolare condizione, ma è anche vero che se li indichi in modo generico, per determinare vettori ortogonali devi scrivere la condizione con $a,b,c,d$ che ho messo prima. Allora hai il seguente quesito: mi servono quattro coefficienti complessi che, messi in questa roba, mi permettano di ottenere un'identità per ogni scelta di $x,y,z,t$. Ma, guarda caso, scegliendo questi elementi coincidenti con i coefficienti della condizione per determinare $V$ otterrei proprio una identità. Allora quei coefficienti vanno bene.
Nota: forse ti sfugge come si fa a trovare un piano generico nello spazio euclideo. In generale, un piano ha un solo vettore ortogonale: pertanto tutti i vettori di esso saranno ortogonali al vettore normale. Ma se allora $n$ è il vettore normale e $P-P_0$ un vettore generico del piano, con $P(x,y,z)$ e $P_0$ un punto fissato nello spazio per cui passa il piano, allora l'equazione del piano è data da $n\times (P-P_0)=0$ ($\times$ prodotto scalare). Qui si fa la stessa cosa: in $CC^4$ trovi un sottospazio di dimensione $3$. Quindi esso ha un sottospazio ortogonale di dimensione 1 che, guarda caso, deve essere un vettore di $CC^4$. Pertanto, i valori che assicurano l'ortogonalità sono proprio quelli che determinano il vettore ortogonale all'iperpiano e in pratica, per analogia con il piano di cui prima, i coefficienti di quella equazione.
$$v=(\alpha,2i(\alpha-\gamma),\beta,\gamma),\qquad \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C}$$
per cui, ad esempio, una base risulta $\{(1,2i,0,0),\ (0,-2i,0,1),\ (0,0,1,0)\}$. Nota che il vettore che hai determinato tu è dato dalla somma dei primi due vettori di base.
2) Sì, è vero che i vettori in $V$ soddisfano quella particolare condizione, ma è anche vero che se li indichi in modo generico, per determinare vettori ortogonali devi scrivere la condizione con $a,b,c,d$ che ho messo prima. Allora hai il seguente quesito: mi servono quattro coefficienti complessi che, messi in questa roba, mi permettano di ottenere un'identità per ogni scelta di $x,y,z,t$. Ma, guarda caso, scegliendo questi elementi coincidenti con i coefficienti della condizione per determinare $V$ otterrei proprio una identità. Allora quei coefficienti vanno bene.
Nota: forse ti sfugge come si fa a trovare un piano generico nello spazio euclideo. In generale, un piano ha un solo vettore ortogonale: pertanto tutti i vettori di esso saranno ortogonali al vettore normale. Ma se allora $n$ è il vettore normale e $P-P_0$ un vettore generico del piano, con $P(x,y,z)$ e $P_0$ un punto fissato nello spazio per cui passa il piano, allora l'equazione del piano è data da $n\times (P-P_0)=0$ ($\times$ prodotto scalare). Qui si fa la stessa cosa: in $CC^4$ trovi un sottospazio di dimensione $3$. Quindi esso ha un sottospazio ortogonale di dimensione 1 che, guarda caso, deve essere un vettore di $CC^4$. Pertanto, i valori che assicurano l'ortogonalità sono proprio quelli che determinano il vettore ortogonale all'iperpiano e in pratica, per analogia con il piano di cui prima, i coefficienti di quella equazione.
Possiamo dire che la condizione che devono soddisfare i vettori di $V$ è tale che "eccezionalmente" coincide anche con la condizione di ortogonalità? Nel libro del mio professore, in un altro esercizio, la procedura standard per trovare l'ortogonale di un sottospazio +è che ci si trova prima di tutto una base del sottospazio (nel nostro caso di $V$) e quindi si considera un generico vettore $w =(a,b,c,d)$ che si moltiplica per i vettori della base trovata e si pone a zero.
In ogni caso, ho capito che tale ultimo ragionamento, che deriva dalla condizione di ortogonalità è già insito nella condizione del sottospazio $V$ dato.
Rileggo meglio la tua risposta per comprenderla appieno.
Grazie!
In ogni caso, ho capito che tale ultimo ragionamento, che deriva dalla condizione di ortogonalità è già insito nella condizione del sottospazio $V$ dato.
Rileggo meglio la tua risposta per comprenderla appieno.
Grazie!
Sì: in questo caso la cosa accade perché, studiando un sottospazio di dimensione $n-1$ in uno spazio $n$, automaticamente puoi trovare il vettore ortogonale. In generale dovresti procedere con le basi. Usando quella che ho scritto io, un vettore $w=(a,b,c,d)$ è ortogonale a $V$ se e solo se
$$a+2ib=0,\ -2ib+d=0,\ c=0$$
e pertanto $w=(-2ib,\ b,\ 0,\ 2ib)$. La scelta $b=i$ fornisce il vettore che ti ho scritto con le componenti coincidenti ai coefficienti dell'equazione definente $V$.
$$a+2ib=0,\ -2ib+d=0,\ c=0$$
e pertanto $w=(-2ib,\ b,\ 0,\ 2ib)$. La scelta $b=i$ fornisce il vettore che ti ho scritto con le componenti coincidenti ai coefficienti dell'equazione definente $V$.
"ciampax":
Sì: in questo caso la cosa accade perché, studiando un sottospazio di dimensione $n-1$ in uno spazio $n$, automaticamente puoi trovare il vettore ortogonale. In generale dovresti procedere con le basi. Usando quella che ho scritto io, un vettore $w=(a,b,c,d)$ è ortogonale a $V$ se e solo se
$$a+2ib=0,\ -2ib+d=0,\ c=0$$
e pertanto $w=(-2ib,\ b,\ 0,\ 2ib)$. La scelta $b=i$ fornisce il vettore che ti ho scritto con le componenti coincidenti ai coefficienti dell'equazione definente $V$.
perfetto ci siamo.
vado avanti nell'esercizio.
Grazie.
normalizzando il vettore $w=(2,i,0,-2)$ osservo che viene radice di $7$ poichè $i^2 =-1$ eppure il professore trova che al denominatore viene radice di $9$ da cui $3$ e pertanto il versore da lui trovato è $(2/3,i/3,0,-2/3)$ dove sto sbagliando?
Grazie.
Grazie.
Mi sa che ti devi rivedere come si definisce la norma di un vettore complesso: se $v=(z_1,\ldots,z_n)$, con $z_k=a_k+ib_k$ allora per definizione la norma hermitiana (equivalente della norma euclidea in $RR^n$) si definisce come
$$|v|=\sqrt{\sum_{k=1}^n z_k\bar{z_k}}=\sqrt{\sum_{k=1}^n |z_k|^2}=\sqrt{\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)}$$
da cui
$$|w|=\sqrt{4+1+0+4}=\sqrt{9}=3$$
$$|v|=\sqrt{\sum_{k=1}^n z_k\bar{z_k}}=\sqrt{\sum_{k=1}^n |z_k|^2}=\sqrt{\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)}$$
da cui
$$|w|=\sqrt{4+1+0+4}=\sqrt{9}=3$$
"ciampax":
Mi sa che ti devi rivedere come si definisce la norma di un vettore complesso: se $v=(z_1,\ldots,z_n)$, con $z_k=a_k+ib_k$ allora per definizione la norma hermitiana (equivalente della norma euclidea in $RR^n$) si definisce come
$$|v|=\sqrt{\sum_{k=1}^n z_k\bar{z_k}}=\sqrt{\sum_{k=1}^n |z_k|^2}=\sqrt{\sum_{k=1}^n(a_k^2+b_k^2)}$$
da cui
$$|w|=\sqrt{4+1+0+4}=\sqrt{9}=3$$
Grazie, sto facendo solo ora le matrici hermitiane e quindi sto studiando meglio il comportamento dei vettori complessi, con gli esercizi sono leggermente più avanti della teoria.
Grazie ancora e complimenti per le spiegazioni semplici e comprensibili.
Prego, se hai altre domande, chiedi pure.
salve a tutti,
purtroppo, mio malgrado, mi trovo costretto a postare il problema sul FOL, infatti volevo trovare da solo la soluzione al quesito ma mi sono nuovamente inceppato.
L'esercizio che ho postato proseguiva, una volta trovato il versore, nel seguente modo per ogni $v in V$ risulta che
$\varphi(v) = v - 2(v n)n = v - 2(v^t n^*)n = v - 2n(n^(t*)v) = v - 2(n^t n^*)v$ ora io vorrei visualizzare tramite un esempio concreto l'uguaglianza $(vn) = (v^t n^*)$. Praticamente in base alla teoria della proiezione ortogonale sullo spazio vettoriale determina il simmetrico così come richiedeva l'endomorfismo dato.
Per esempio se il mio vettore $v = (1, 2i, 0, 0)$ ed il versore è $n = (2/3, i/3, 0, -2/3)$, il suo coniugato è $n^* = (2/3, -i/3, 0, -2/3)$ dovrei ottenere l'uguaglianza cercata, ma non mi tornano i calcoli. Dove sto sbagliando?
Grazie.
purtroppo, mio malgrado, mi trovo costretto a postare il problema sul FOL, infatti volevo trovare da solo la soluzione al quesito ma mi sono nuovamente inceppato.
L'esercizio che ho postato proseguiva, una volta trovato il versore, nel seguente modo per ogni $v in V$ risulta che
$\varphi(v) = v - 2(v n)n = v - 2(v^t n^*)n = v - 2n(n^(t*)v) = v - 2(n^t n^*)v$ ora io vorrei visualizzare tramite un esempio concreto l'uguaglianza $(vn) = (v^t n^*)$. Praticamente in base alla teoria della proiezione ortogonale sullo spazio vettoriale determina il simmetrico così come richiedeva l'endomorfismo dato.
Per esempio se il mio vettore $v = (1, 2i, 0, 0)$ ed il versore è $n = (2/3, i/3, 0, -2/3)$, il suo coniugato è $n^* = (2/3, -i/3, 0, -2/3)$ dovrei ottenere l'uguaglianza cercata, ma non mi tornano i calcoli. Dove sto sbagliando?
Grazie.
Domanda: $vn$ come viene inteso? Prodotto scalare? Prodotto vettore colonna-vettore riga? Perché mi pare debba risultare uno scalare.
"ciampax":
Domanda: $vn$ come viene inteso? Prodotto scalare? Prodotto vettore colonna-vettore riga? Perché mi pare debba risultare uno scalare.
Allora $vn$ viene inteso come prodotto scalare quindi $v*n$.
In generale è scritto: "$AA v in V$ $\varphi(v) = v - 2(v*n)n$. Con la notazione matriciale ed usando vettori colonna, si ha: $\varphi(v) = v -2(v^t \bar n)n = v - 2n(\bar n^t v) = v -2(n^t \bar n)v$.
Io vorrei dismotrare tramite un esempio concreto che $(v*n) = (v^t \bar n)$, dove $\bar n$ è il versore coniugato di $n$.
OT.
Cercando simili esempi su internet mi sono imbattuto in un problema simile. Riporto quanto viene scritto
Sia $V = L((-1,1,1))$ un sottospazio vettoriale di dimensione 1. Una sua base ortonormale è $e =(-1/sqrt(3), 1/sqrt(3),1/sqrt(3))$. In base alla teoria, la proiezione ortogonale di $v$ su $V$ si calcola come $proj(v) = (v*e)e = 2/sqrt(3)(-1/sqrt(3), 1/sqrt(3),1/sqrt(3))$
Adesso mi soffermo solo sulla parte $(v*e)$ che dovrebbe essere scritta come $(-1,1,1) ((-1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)),(1/sqrt(3)))$ che dovrebbe fare usando il classico prodotto righe per colonne $3/sqrt(3)$. Come fa a venire $2/sqrt(3)$?
Forse mi sono dimenticato un pò di cose
Allora ho riletto meglio il testo ed effettivamente avevo commesso un errore di interpretazione.
Infatti l'uguaglianza cercata da me non era quella descritta nel testo. Infatti nel testo si fa riferimento (una volta utilizzata la notazione matriciale ed usando i vettori colonna) alla seguente uguaglianza: $\varphi(v) = v - 2(v^t \bar n)n = v -2n(\bar n^t v)$ pertanto se si vuole visualizzare fisicamente questa ugualianza bisogna considerare: $(v^t \bar n)n = n(\bar n^t v)$.
Se consideriamo $v = (1,2i,0,0)$ e $n = (2/3,i/3,0,-2/3)$ si ha allora:
$(((1),(2i),(0),(0)) (2/3,-i/3,0,-2/3)) (2/3, i/3,0,-2/3)$ che è equivalente a $(2/3, i/3,0,-2/3) ( ((2/3),(-i/3),(0),(-2/3)) (1,2i,0,0))$
Se ho fatto bene i calcoli.
A questo punto mi rimane solo il dubbio dell'OT di prima. cui ancora non so dare una risposta.
Infatti l'uguaglianza cercata da me non era quella descritta nel testo. Infatti nel testo si fa riferimento (una volta utilizzata la notazione matriciale ed usando i vettori colonna) alla seguente uguaglianza: $\varphi(v) = v - 2(v^t \bar n)n = v -2n(\bar n^t v)$ pertanto se si vuole visualizzare fisicamente questa ugualianza bisogna considerare: $(v^t \bar n)n = n(\bar n^t v)$.
Se consideriamo $v = (1,2i,0,0)$ e $n = (2/3,i/3,0,-2/3)$ si ha allora:
$(((1),(2i),(0),(0)) (2/3,-i/3,0,-2/3)) (2/3, i/3,0,-2/3)$ che è equivalente a $(2/3, i/3,0,-2/3) ( ((2/3),(-i/3),(0),(-2/3)) (1,2i,0,0))$
Se ho fatto bene i calcoli.
A questo punto mi rimane solo il dubbio dell'OT di prima. cui ancora non so dare una risposta.
Allora: nella scrittura $\phi(v)=v-2(v^t\bar{n})n$ l'espressione tra parentesi rappresenta il prodotto hermitiano di cui ti parlavo prima espresso in forma vettoriale. Se infatti $v=(v_1,\ldots,v_m)^t,\ n=n_1,\lodts,n_m)^t$ sono due vettori colonna a valori complessi $v_i,\ n_i\in CC$, la scrittura che avevo usato io in precedenza diventa
$$v^t\bar{n}=(v_1,\ldots,v_n)\left(\begin{array}{c}\bar{n_1}\\ \vdots\\\bar{n_m}\end{array}\right)=\sum_{k=1}^n v_k\bar{n_k}$$
Osserva ora che tale valore è un numero complesso: pertanto $v^t\bar{n}\in CC \Rightarrow\ (v^t\bar{n})^t=v^t\bar{n}$, poiché la trasposta di una matrice 1x1 (scalare) rimane identica. Ma allora $v^t\bar{n}=(v^t\bar{n})^t=\bar{n}^t (v^t)^t=\bar{n}^t v$, avendo usato il fatto che $(AB)^t=B^t A^t$. Osserva che, venendo fuori uno scalare da questo prodotto, non c'è bisogno di scambiare di posto alla $n$ a cui questo scalare fa da coefficiente: per cui
$$\phi(v)=v-2(v^t\bar{n})n=v-2(\bar{n}^t v)n$$
Per quanto riguarda l'OT, secondo me hanno semplicemente fatto un errore di scrittura
$$v^t\bar{n}=(v_1,\ldots,v_n)\left(\begin{array}{c}\bar{n_1}\\ \vdots\\\bar{n_m}\end{array}\right)=\sum_{k=1}^n v_k\bar{n_k}$$
Osserva ora che tale valore è un numero complesso: pertanto $v^t\bar{n}\in CC \Rightarrow\ (v^t\bar{n})^t=v^t\bar{n}$, poiché la trasposta di una matrice 1x1 (scalare) rimane identica. Ma allora $v^t\bar{n}=(v^t\bar{n})^t=\bar{n}^t (v^t)^t=\bar{n}^t v$, avendo usato il fatto che $(AB)^t=B^t A^t$. Osserva che, venendo fuori uno scalare da questo prodotto, non c'è bisogno di scambiare di posto alla $n$ a cui questo scalare fa da coefficiente: per cui
$$\phi(v)=v-2(v^t\bar{n})n=v-2(\bar{n}^t v)n$$
Per quanto riguarda l'OT, secondo me hanno semplicemente fatto un errore di scrittura
"ciampax":
Allora: nella scrittura $\phi(v)=v-2(v^t\bar{n})n$ l'espressione tra parentesi rappresenta il prodotto hermitiano di cui ti parlavo prima espresso in forma vettoriale. Se infatti $v=(v_1,\ldots,v_m)^t,\ n=n_1,\lodts,n_m)^t$ sono due vettori colonna a valori complessi $v_i,\ n_i\in CC$, la scrittura che avevo usato io in precedenza diventa
$$v^t\bar{n}=(v_1,\ldots,v_n)\left(\begin{array}{c}\bar{n_1}\\ \vdots\\\bar{n_m}\end{array}\right)=\sum_{k=1}^n v_k\bar{n_k}$$
Osserva ora che tale valore è un numero complesso: pertanto $v^t\bar{n}\in CC \Rightarrow\ (v^t\bar{n})^t=v^t\bar{n}$, poiché la trasposta di una matrice 1x1 (scalare) rimane identica. Ma allora $v^t\bar{n}=(v^t\bar{n})^t=\bar{n}^t (v^t)^t=\bar{n}^t v$, avendo usato il fatto che $(AB)^t=B^t A^t$. Osserva che, venendo fuori uno scalare da questo prodotto, non c'è bisogno di scambiare di posto alla $n$ a cui questo scalare fa da coefficiente: per cui
$$\phi(v)=v-2(v^t\bar{n})n=v-2(\bar{n}^t v)n$$
Per quanto riguarda l'OT, secondo me hanno semplicemente fatto un errore di scrittura
Intanto grazie della risposta. Devo dire che la tua spiegazione mi ha convinto subito. Anche in questo caso ho fatto un enorme errore di interpretazione dello scritto del professore, quando mette la $t$ che indica trasposta, pensavo fossero termini diversi e quindi scambiavo le righe con le colonne.
Pazzesco ho perso 2 gg su questo errore.
Va beh, vuol dire che starò più attento. In ogni caso ho approfondito i temi.
Dimenticavo che il mio professore scrive che queste matrici sono le matrici di Householder e tali matrici hanno particolari proprietà geometriche.
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